2015 AIME II 第 5 题

Question

从一个由单位正方形组成的

n \times n

方格中，不放回地随机选出两个单位正方形。求最小正整数

n

，使得这两个选出的正方形水平相邻或竖直相邻的概率小于

\frac{1}{2015}

。

Two unit squares are selected at random without replacement from an

n \times n

grid of unit squares. Find the least positive integer

n

such that the probability that the two selected squares are horizontally or vertically adjacent is less than

\frac{1}{2015}.

答案

答案：90

知识点：基本概率数对计数不等式

难度评级：2270

小提示：

直接数相邻对：水平相邻有

n(n-1)

对，竖直相邻也有

n(n-1)

对

Count the adjacent pairs directly:

n(n-1)

horizontal and

n(n-1)

vertical

大提示：

除以

\binom{n^2}{2}

后，概率化简为

\frac{4}{n(n+1)}

；让它小于

\frac{1}{2015}

Dividing by

\binom{n^2}{2}

simplifies the probability to

\frac{4}{n(n+1)};

make that less than

\frac{1}{2015}

解答：

n

行中的每一行有

n - 1

对水平相邻的正方形，共

n(n-1)

对；竖直相邻同样有

n(n-1)

对。在所有

\binom{n^2}{2} = \frac{n^2(n^2-1)}{2}

个等可能的正方形对中，相邻的概率为

\frac{2n(n-1) \cdot 2}{n^2(n^2 - 1)} = \frac{4}{n(n+1)}\text{。}

需要

n(n+1) \gt 4 \cdot 2015 = 8060

。因为

89 \cdot 90 = 8010

，而

90 \cdot 91 = 8190

，满足条件的最小

n

是

90

。

Each of the

n

rows contains

n - 1

horizontally adjacent pairs, so there are

n(n-1)

horizontal pairs and likewise

n(n-1)

vertical pairs. Out of

\binom{n^2}{2} = \frac{n^2(n^2-1)}{2}

equally likely pairs, the probability of adjacency is

\frac{2n(n-1) \cdot 2}{n^2(n^2 - 1)} = \frac{4}{n(n+1)}.

We need

n(n+1) \gt 4 \cdot 2015 = 8060.

Since

89 \cdot 90 = 8010

and

90 \cdot 91 = 8190,

the least such

n

is

90.

2015 AIME II 第 5 题

答案：90

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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