Question

锐角三角形 $\triangle ABC$ 的外接圆圆心为 $O$ 。过点 $O$ 且垂直于 $\overline{OB}$ 的直线分别与直线 $AB$ 和 $BC$ 交于 $P$ 和 $Q$ ，又已知 $AB = 5$ 、 $BC = 4$ 、 $BQ = 4.5$ ，且 $BP = \frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

The circumcircle of acute $\triangle ABC$ has center $O.$ The line passing through point $O$ perpendicular to $\overline{OB}$ intersects lines $AB$ and $BC$ at $P$ and $Q,$ respectively. Also $AB = 5,$ $BC = 4,$ $BQ = 4.5,$ and $BP = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：23

知识点：外接圆、外心与外接圆半径导角相似

难度评级：3060

解答：

弦 $\overline{BC}$ 所对的圆心角为 $\angle BOC = 2\angle A$ ，且 $OB = OC$ ，所以三角形 $OBC$ 是等腰三角形， $\angle OBC = 90^\circ - \angle A$ 。在三角形 $OBQ$ 中，点 $O$ 处的角为 $90^\circ$ ，因此 $\begin{aligned} &\angle BQP = 90^\circ - \angle OBQ \\ &= 90^\circ - (90^\circ - \angle A) \\ &= \angle A. \end{aligned}$

三角形 $BQP$ 与 $BAC$ 共用点 $B$ 处的角，且 $\angle BQP = \angle BAC$ ，所以它们相似，得到 $\frac{BP}{BC} = \frac{BQ}{BA}$ 。于是 $\begin{aligned} &BP = \frac{BQ \cdot BC}{BA} \\ &= \frac{4.5 \cdot 4}{5} = \frac{18}{5}, \end{aligned}$ 所以 $m + n = 18 + 5 = 23$ 。

The central angle over $\overline{BC}$ is $\angle BOC = 2\angle A,$ and $OB = OC$ makes triangle $OBC$ isosceles, so $\angle OBC = 90^\circ - \angle A.$ In triangle $OBQ$ the angle at $O$ is $90^\circ,$ hence $\begin{aligned} &\angle BQP = 90^\circ - \angle OBQ \\ &= 90^\circ - (90^\circ - \angle A) \\ &= \angle A. \end{aligned}$

Triangles $BQP$ and $BAC$ share the angle at $B$ and have $\angle BQP = \angle BAC,$ so they are similar, giving $\frac{BP}{BC} = \frac{BQ}{BA}.$ Therefore $\begin{aligned} &BP = \frac{BQ \cdot BC}{BA} \\ &= \frac{4.5 \cdot 4}{5} = \frac{18}{5}, \end{aligned}$ and $m + n = 18 + 5 = 23.$

2015 AIME II 第 11 题

答案：23

难度评级：3060

解答：

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