Question

三角形 $ABC$ 的边长都是正整数，且 $AB = AC$ 。设 $I$ 为 $\angle B$ 与 $\angle C$ 的角平分线的交点。已知 $BI = 8$ 。求 $\triangle ABC$ 的最小可能周长。

Triangle $ABC$ has positive integer side lengths with $AB = AC.$ Let $I$ be the intersection of the bisectors of $\angle B$ and $\angle C.$ Suppose $BI = 8.$ Find the smallest possible perimeter of $\triangle ABC.$

答案

答案：108

知识点：内切圆、内心与内切圆半径等腰三角形三角恒等式整除性

难度评级：3160

解答：

设 $M$ 为 $\overline{BC}$ 的中点；由对称性， $A$ 、 $I$ 、 $M$ 共线且 $AM \perp BC$ 。令 $a = AB$ 、 $b = BM$ ，直角三角形 $ABM$ 与 $IBM$ 给出 $\cos\angle ABM = \frac{b}{a}$ 和 $\cos\angle IBM = \frac{b}{8}$ 。由于 $BI$ 平分 $\angle ABM$ ，倍角公式给出 $\frac{b}{a} = 2\left(\frac{b}{8}\right)^2 - 1,$ 所以 $a = \frac{32b}{b^2 - 32}.$

写 $c = BC = 2b$ ，则 $a = \frac{64c}{c^2 - 128}$ 。需要 $c^2 \gt 128$ ，所以 $c \ge 12$ ，而 $\cos\angle IBM = \frac{b}{8} \lt 1$ 迫使 $c \lt 16$ 。检验 $c = 12, 13, 14, 15$ ，只有 $c = 12$ 使 $a$ 为整数，此时 $a = \frac{768}{16} = 48$ 。

边长为 $48$ 、 $48$ 、 $12$ 的三角形满足所有条件，周长为 $48 + 48 + 12 = 108.$

Let $M$ be the midpoint of $\overline{BC};$ by symmetry $A,$ $I,$ and $M$ are collinear with $AM \perp BC.$ With $a = AB$ and $b = BM,$ right triangles $ABM$ and $IBM$ give $\cos\angle ABM = \frac{b}{a}$ and $\cos\angle IBM = \frac{b}{8}.$ Since $BI$ bisects $\angle ABM,$ the double-angle formula yields $\frac{b}{a} = 2\left(\frac{b}{8}\right)^2 - 1,$ so $a = \frac{32b}{b^2 - 32}.$

Writing $c = BC = 2b,$ this becomes $a = \frac{64c}{c^2 - 128}.$ We need $c^2 \gt 128,$ so $c \ge 12,$ while $\cos\angle IBM = \frac{b}{8} \lt 1$ forces $c \lt 16.$ Testing $c = 12, 13, 14, 15,$ only $c = 12$ makes $a$ an integer, namely $a = \frac{768}{16} = 48.$

The triangle with sides $48,$ $48,$ $12$ satisfies all the conditions, and its perimeter is $48 + 48 + 12 = 108.$

2015 AIME I 第 11 题

答案：108

难度评级：3160

解答：

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