Question

函数 $f(x) = \arcsin(\log_m(nx))$ 的定义域是一个长度为 $\frac{1}{2013}$ 的闭区间，其中 $m$ 和 $n$ 为正整数且 $m \gt 1$ 。求最小可能的 $m + n$ 除以 $1000$ 的余数。

The domain of the function $f(x) = \arcsin(\log_m(nx))$ is a closed interval of length $\frac{1}{2013},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $m \gt 1.$ Find the remainder when the smallest possible sum $m + n$ is divided by $1000.$

答案

答案：371

知识点：函数对数整除性

难度评级：2560

解答：

函数有定义当且仅当 $-1 \le \log_m(nx) \le 1$ ，也就是 $\frac{1}{m} \le nx \le m$ ，因此定义域为 $\left[\frac{1}{mn}, \frac{m}{n}\right]$ ，长度为所以 $n = \frac{2013(m^2 - 1)}{m}$ 。由于 $m$ 与 $m^2 - 1$ 互质， $m$ 必须整除 $2013 = 3 \cdot 11 \cdot 61$ 。 $\frac{m}{n} - \frac{1}{mn} = \frac{m^2 - 1}{mn} = \frac{1}{2013}.$

因为 $n \approx 2013m$ ，所以 $m + n$ 随 $m$ 增大而增大，故取最小因子 $m = 3$ ：此时 $n = \frac{2013 \cdot 8}{3} = 5368$ ，且 $m + n = 5371$ 。

除以 $1000$ 的余数为 $371$ 。

The function is defined when $-1 \le \log_m(nx) \le 1,$ that is $\frac{1}{m} \le nx \le m,$ so the domain is $\left[\frac{1}{mn}, \frac{m}{n}\right],$ with length $\frac{m}{n} - \frac{1}{mn} = \frac{m^2 - 1}{mn} = \frac{1}{2013}.$ Hence $n = \frac{2013(m^2 - 1)}{m}.$ Since $m$ is relatively prime to $m^2 - 1,$ $m$ must divide $2013 = 3 \cdot 11 \cdot 61.$

Because $n \approx 2013m,$ the sum $m + n$ grows with $m,$ so take the smallest factor $m = 3:$ then $n = \frac{2013 \cdot 8}{3} = 5368$ and $m + n = 5371.$

The remainder upon division by $1000$ is $371.$

2013 AIME I 第 8 题

答案：371

难度评级：2560

解答：

其他年份的第 8 题