2012 AIME II 第 2 题

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2.

两个等比数列

a_1

、

a_2

、

a_3

、

\ldots

和

b_1

、

b_2

、

b_3

、

\ldots

有相同的公比，且

a_1 = 27

、

b_1 = 99

、

a_{15} = b_{11}

。求

a_9

。

Two geometric sequences

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

and

b_1,

b_2,

b_3,

\ldots

have the same common ratio, with

a_1 = 27,

b_1 = 99,

and

a_{15} = b_{11}.

Find

a_9.

答案

答案：363

知识点：等比数列代数变形

难度评级：1750

小提示：

设共同公比为

r

，条件

a_{15} = b_{11}

表示

27r^{14} = 99r^{10}

。

With common ratio

r,

the condition

a_{15} = b_{11}

says

27r^{14} = 99r^{10}

大提示：

只需求

r^4

，因为

a_9 = 27r^8

。

You only need

r^4,

because

a_9 = 27r^8

解答：

设

r

为共同公比。则

a_{15} = 27r^{14}

，

b_{11} = 99r^{10}

，所以

27r^{14} = 99r^{10}

给出

r^4 = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}

。

因此

\begin{aligned} a_9 &= 27r^8 = 27\left(\frac{11}{3}\right)^2 \\ &= 27 \cdot \frac{121}{9} = 3 \cdot 121 = 363 \end{aligned}\text{。}

Let

r

be the shared common ratio. Then

a_{15} = 27r^{14}

and

b_{11} = 99r^{10},

so

27r^{14} = 99r^{10}

gives

r^4 = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}.

Therefore

\begin{aligned} a_9 &= 27r^8 = 27\left(\frac{11}{3}\right)^2 \\ &= 27 \cdot \frac{121}{9} = 3 \cdot 121 = 363. \end{aligned}