Question

两个等比数列 $a_1, a_2, a_3, \ldots$ 和 $b_1, b_2, b_3, \ldots$ 有相同的公比，且 $a_1 = 27$ ， $b_1 = 99$ ， $a_{15} = b_{11}$ 。求 $a_9$ 。

Two geometric sequences $a_1, a_2, a_3, \ldots$ and $b_1, b_2, b_3, \ldots$ have the same common ratio, with $a_1 = 27,$ $b_1 = 99,$ and $a_{15} = b_{11}.$ Find $a_9.$

答案

答案：363

知识点：等比数列代数变形

难度评级：1750

解答：

设 $r$ 为共同公比。则 $a_{15} = 27r^{14}$ ， $b_{11} = 99r^{10}$ ，所以 $27r^{14} = 99r^{10}$ 给出 $r^4 = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}$ 。

因此 $\begin{aligned} a_9 &= 27r^8 = 27\left(\frac{11}{3}\right)^2 \\ &= 27 \cdot \frac{121}{9} = 3 \cdot 121 = 363. \end{aligned}$

Let $r$ be the shared common ratio. Then $a_{15} = 27r^{14}$ and $b_{11} = 99r^{10},$ so $27r^{14} = 99r^{10}$ gives $r^4 = \frac{99}{27} = \frac{11}{3}.$

Therefore $\begin{aligned} a_9 &= 27r^8 = 27\left(\frac{11}{3}\right)^2 \\ &= 27 \cdot \frac{121}{9} = 3 \cdot 121 = 363. \end{aligned}$

2012 AIME II 第 2 题

答案：363

难度评级：1750

解答：

其他年份的第 2 题