Question

复数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是多项式 $P(z) = z^3 + qz + r$ 的零点，并且 $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = 250$ 。复平面中对应于 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的点是一个直角三角形的顶点，其斜边为 $h$ 。求 $h^2$ 。

Complex numbers $a,$ $b,$ and $c$ are the zeros of a polynomial $P(z) = z^3 + qz + r,$ and $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = 250.$ The points corresponding to $a,$ $b,$ and $c$ in the complex plane are the vertices of a right triangle with hypotenuse $h.$ Find $h^2.$

答案

答案：375

知识点：复数韦达定理直角三角形

难度评级：3060

解答：

因为 $P(z)$ 没有 $z^2$ 项，所以 $a + b + c = 0$ 。设直角在 $b$ ；则斜边连接 $a$ 和 $c$ ，所以 $h = |a - c|$ ，且 $b = -(a + c)$ 。斜边中点 $d = \frac{a + c}{2}$ 是直角三角形的外心，所以 $|b - d| = \frac{h}{2}$ 。由于 $b - d = -\frac{3}{2}(a + c)$ ，可得 $|a - c| = 3\,|a + c|$ 。

由平行四边形恒等式， $|a|^2 + |c|^2 = \frac{|a - c|^2 + |a + c|^2}{2}$ ，且 $|b|^2 = |a + c|^2$ ，因此 $\begin{aligned} 250 &= \frac{9\,|a + c|^2 + |a + c|^2}{2} \\ &\quad {}+ |a + c|^2 \\ &= 6\,|a + c|^2. \end{aligned}$

所以 $h^2 = |a - c|^2 = 9\,|a + c|^2$ $= \frac{9 \cdot 250}{6}$ $= 375$ 。

Since $P(z)$ has no $z^2$ term, $a + b + c = 0.$ Say the right angle is at $b;$ then the hypotenuse joins $a$ and $c,$ so $h = |a - c|,$ and $b = -(a + c).$ The midpoint $d = \frac{a + c}{2}$ of the hypotenuse is the circumcenter of the right triangle, so $|b - d| = \frac{h}{2}.$ Since $b - d = -\frac{3}{2}(a + c),$ this gives $|a - c| = 3\,|a + c|.$

By the parallelogram law, $|a|^2 + |c|^2 = \frac{|a - c|^2 + |a + c|^2}{2},$ and $|b|^2 = |a + c|^2,$ so $\begin{aligned} 250 &= \frac{9\,|a + c|^2 + |a + c|^2}{2} \\ &\quad {}+ |a + c|^2 \\ &= 6\,|a + c|^2. \end{aligned}$

Therefore $h^2 = |a - c|^2 = 9\,|a + c|^2$ $= \frac{9 \cdot 250}{6}$ $= 375.$

2012 AIME I 第 14 题

答案：375

难度评级：3060

解答：

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