2011 AIME II 第 2 题

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2.

在正方形

ABCD

中，点

E

在边

\overline{AD}

上，点

F

在边

\overline{BC}

上，且

BE = EF = FD = 30

。求正方形

ABCD

的面积。

On square

ABCD,

point

E

lies on side

\overline{AD}

and point

F

lies on side

\overline{BC},

so that

BE = EF = FD = 30.

Find the area of square

ABCD.

答案

答案：810

知识点：正方形（几何）坐标几何勾股定理

难度评级：1970

小提示：

设

B = (0, 0)

、

C = (s, 0)

、

A = (0, s)

、

D = (s, s)

，并令

E = (a, s)

、

F = (b, 0)

。

Put

B = (0, 0),

C = (s, 0),

A = (0, s),

D = (s, s),

and write

E = (a, s),

F = (b, 0)

大提示：

BE = FD

迫使

b = s - a

，然后

EF = BE

迫使

a = \frac{s}{3}

；最后用

a^2 + s^2 = 900

。

BE = FD

forces

b = s - a,

and then

EF = BE

forces

a = \frac{s}{3};

finish with

a^2 + s^2 = 900

解答：

设边长为

s

，并取

B = (0, 0)

、

C = (s, 0)

、

A = (0, s)

、

D = (s, s)

。令

E = (a, s)

、

F = (b, 0)

。于是

BE^2 = a^2 + s^2

，

FD^2 = (s - b)^2 + s^2

，且

EF^2 = (a - b)^2 + s^2

。

由

BE = FD

得

a = s - b

，所以

a - b = 2a - s

。再由

EF = BE

得

(2a - s)^2 = a^2

，其解为

a = \frac{s}{3}

和

a = s

（后一个解会把分别命名的点

E

、

F

与角点

D

、

B

重合，使三条线段都成为同一条对角线）。所以

a = \frac{s}{3}

。

现在

900 = BE^2 = \frac{s^2}{9} + s^2 = \frac{10s^2}{9}

，所以面积为

s^2 = \frac{9}{10} \cdot 900 = 810

。

Let the side length be

s,

and place

B = (0, 0),

C = (s, 0),

A = (0, s),

D = (s, s).

Write

E = (a, s)

and

F = (b, 0).

Then

BE^2 = a^2 + s^2,

FD^2 = (s - b)^2 + s^2,

and

EF^2 = (a - b)^2 + s^2.

From

BE = FD

we get

a = s - b,

so

a - b = 2a - s.

Then

EF = BE

gives

(2a - s)^2 = a^2,

whose solutions are

a = \frac{s}{3}

and

a = s

(the latter identifies the separately named points

E

and

F

with corners

D

and

B,

making all three segments the same diagonal). So

a = \frac{s}{3}.

Now

900 = BE^2 = \frac{s^2}{9} + s^2 = \frac{10s^2}{9},

so the area is

s^2 = \frac{9}{10} \cdot 900 = 810.