Question

在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $\overline{AD}$ 上，点 $F$ 在边 $\overline{BC}$ 上，且 $BE = EF = FD = 30$ 。求正方形 $ABCD$ 的面积。

On square $ABCD,$ point $E$ lies on side $\overline{AD}$ and point $F$ lies on side $\overline{BC},$ so that $BE = EF = FD = 30.$ Find the area of square $ABCD.$

答案

答案：810

知识点：正方形（几何）坐标几何勾股定理

难度评级：1970

解答：

设边长为 $s$ ，并取 $B = (0, 0)$ ， $C = (s, 0)$ ， $A = (0, s)$ ， $D = (s, s)$ 。写作 $E = (a, s)$ ， $F = (b, 0)$ 。于是 $BE^2 = a^2 + s^2$ ， $FD^2 = (s - b)^2 + s^2$ ，且 $EF^2 = (a - b)^2 + s^2$ 。

由 $BE = FD$ 得 $a = s - b$ ，所以 $a - b = 2a - s$ 。再由 $EF = BE$ 得 $(2a - s)^2 = a^2$ ，其解为 $a = \frac{s}{3}$ 和 $a = s$ （后者会让 $E$ 和 $F$ 分别落在角点 $D$ 和 $B$ 上，使三条线段重合）。所以 $a = \frac{s}{3}$ 。

现在 $900 = BE^2 = \frac{s^2}{9} + s^2 = \frac{10s^2}{9}$ ，所以面积为 $s^2 = \frac{9}{10} \cdot 900 = 810$ 。

Let the side length be $s,$ and place $B = (0, 0),$ $C = (s, 0),$ $A = (0, s),$ $D = (s, s).$ Write $E = (a, s)$ and $F = (b, 0).$ Then $BE^2 = a^2 + s^2,$ $FD^2 = (s - b)^2 + s^2,$ and $EF^2 = (a - b)^2 + s^2.$

From $BE = FD$ we get $a = s - b,$ so $a - b = 2a - s.$ Then $EF = BE$ gives $(2a - s)^2 = a^2,$ whose solutions are $a = \frac{s}{3}$ and $a = s$ (the latter collapses $E$ and $F$ onto the corners $D$ and $B,$ making the three segments coincide). So $a = \frac{s}{3}.$

Now $900 = BE^2 = \frac{s^2}{9} + s^2 = \frac{10s^2}{9},$ so the area is $s^2 = \frac{9}{10} \cdot 900 = 810.$

2011 AIME II 第 2 题

答案：810

难度评级：1970

解答：

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