Question

存在唯一的一组 $r$ 个非负整数 $n_1 \gt n_2 \gt \cdots \gt n_r$ ，以及唯一确定的 $r$ 个整数 $a_k$ $(1 \le k \le r)$ ，其中每个 $a_k$ 都等于 $1$ 或 $-1$ ，使得 $\begin{aligned} &a_1 3^{n_1} + a_2 3^{n_2} + \cdots + a_r 3^{n_r} \\ &= 2008. \end{aligned}$ 求 $n_1 + n_2 + \cdots + n_r$ 。

There exist $r$ unique nonnegative integers $n_1 \gt n_2 \gt \cdots \gt n_r$ and $r$ unique integers $a_k$ $(1 \le k \le r)$ with each $a_k$ either $1$ or $-1$ such that $\begin{aligned} &a_1 3^{n_1} + a_2 3^{n_2} + \cdots + a_r 3^{n_r} \\ &= 2008. \end{aligned}$ Find $n_1 + n_2 + \cdots + n_r.$

答案

答案：21

知识点：进制指数

难度评级：2350

解答：

在 $3$ 进制下， $2008 = 2202101_3$ ，也就是说 $\begin{aligned} 2008 &= 2 \cdot 3^6 + 2 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^3 \\ &\quad {}+ 3^2 + 3^0. \end{aligned}$ 为了把数字 $2$ 转成系数 $\pm 1$ ，使用 $2 \cdot 3^k = 3^{k+1} - 3^k$ 。两个相邻的数字 $2$ 会整齐抵消： $2 \cdot 3^6 + 2 \cdot 3^5$ $= (3^7 - 3^6) + (3^6 - 3^5)$ $= 3^7 - 3^5$ ，并且 $2 \cdot 3^3 = 3^4 - 3^3$ 。

因此 $\begin{aligned} 2008 &= 3^7 - 3^5 + 3^4 - 3^3 \\ &\quad {}+ 3^2 + 3^0, \end{aligned}$ 它有互不相同的指数和系数 $\pm 1$ ，符合要求。指数之和为 $7 + 5 + 4 + 3 + 2 + 0 = 21$ 。

In base $3,$ $2008 = 2202101_3,$ that is, $\begin{aligned} 2008 &= 2 \cdot 3^6 + 2 \cdot 3^5 + 2 \cdot 3^3 \\ &\quad {}+ 3^2 + 3^0. \end{aligned}$ To convert the digits $2$ into coefficients $\pm 1,$ use $2 \cdot 3^k = 3^{k+1} - 3^k.$ The two adjacent digits $2$ collapse neatly: $2 \cdot 3^6 + 2 \cdot 3^5$ $= (3^7 - 3^6) + (3^6 - 3^5)$ $= 3^7 - 3^5,$ and $2 \cdot 3^3 = 3^4 - 3^3.$

Therefore $\begin{aligned} 2008 &= 3^7 - 3^5 + 3^4 - 3^3 \\ &\quad {}+ 3^2 + 3^0, \end{aligned}$ which has distinct exponents and coefficients $\pm 1,$ as required. The sum of the exponents is $7 + 5 + 4 + 3 + 2 + 0 = 21.$

2008 AIME II 第 4 题

答案：21

难度评级：2350

解答：

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