Question

多项式 $P(x)$ 是三次多项式。若多项式 $Q_1(x) = x^2 + (k - 29)x - k$ 和 $Q_2(x) = 2x^2 + (2k - 43)x + k$ 都是 $P(x)$ 的因式，求 $k$ 的最大值。

The polynomial $P(x)$ is cubic. What is the largest value of $k$ for which the polynomials $Q_1(x) = x^2 + (k - 29)x - k$ and $Q_2(x) = 2x^2 + (2k - 43)x + k$ are both factors of $P(x)?$

答案

答案：30

知识点：多项式二次方程因式分解

难度评级：2500

解答：

如果 $Q_1$ 和 $Q_2$ 没有公共根，那么它们的乘积是 $4$ 次多项式，却要整除三次多项式 $P(x)$ ，这是不可能的。所以它们有公共根 $r$ ，且 $2Q_1(r) - Q_2(r) = 0$ 。计算得 $2Q_1(x) - Q_2(x) = -15x - 3k$ ，因此 $r = -\frac{k}{5}$ 。

代入 $Q_1(r) = 0$ ，得到 $\frac{k^2}{25} - (k - 29)\frac{k}{5} - k = 0$ ；两边乘以 $25$ 并化简，得 $-4k^2 + 120k = 0$ ，所以 $k = 0$ 或 $k = 30$ 。

当 $k = 30$ 时， $Q_1(x) = x^2 + x - 30$ $= (x + 6)(x - 5)$ ，且 $Q_2(x) = 2x^2 + 17x + 30$ $= (x + 6)(2x + 5)$ ，二者都整除 $P(x) = (x + 6)(x - 5)(2x + 5)$ 。最大值为 $30$ 。

If $Q_1$ and $Q_2$ had no common root, their product — of degree $4$ — would divide the cubic $P(x),$ which is impossible. So they share a root $r,$ and $2Q_1(r) - Q_2(r) = 0.$ Computing, $2Q_1(x) - Q_2(x) = -15x - 3k,$ so $r = -\frac{k}{5}.$

Substituting into $Q_1(r) = 0$ gives $\frac{k^2}{25} - (k - 29)\frac{k}{5} - k = 0;$ multiplying by $25$ and simplifying yields $-4k^2 + 120k = 0,$ so $k = 0$ or $k = 30.$

For $k = 30,$ $Q_1(x) = x^2 + x - 30$ $= (x + 6)(x - 5)$ and $Q_2(x) = 2x^2 + 17x + 30$ $= (x + 6)(2x + 5),$ and both divide $P(x) = (x + 6)(x - 5)(2x + 5).$ The largest value is $30.$

2007 AIME I 第 8 题

答案：30

难度评级：2500

解答：

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