Question

对每个正整数 $k$ ，令 $S_k$ 表示首项为 $1$ 、公差为 $k$ 的递增整数等差数列。例如， $S_3$ 是数列 $1, 4, 7, \ldots$ 。有多少个 $k$ 的取值使得 $S_k$ 含有项 $2005$ ？

For each positive integer $k,$ let $S_k$ denote the increasing arithmetic sequence of integers whose first term is $1$ and whose common difference is $k.$ For example, $S_3$ is the sequence $1, 4, 7, \ldots.$ For how many values of $k$ does $S_k$ contain the term $2005?$

答案

答案：12

知识点：等差数列因数个数

难度评级：1840

解答：

$S_k$ 的第 $n$ 项为 $1 + (n-1)k$ ，所以 $2005$ 是其中一项，当且仅当对某个正整数 $n$ 有 $(n-1)k = 2004$ ，也就是当且仅当 $k$ 整除 $2004$ 。每个因数都可行，因为此时 $n - 1 = \frac{2004}{k}$ 是正整数。

因为 $2004 = 2^2 \cdot 3 \cdot 167$ ，因数个数为 $(2+1)(1+1)(1+1) = 12$ 。

The $n$ th term of $S_k$ is $1 + (n-1)k,$ so $2005$ is a term exactly when $(n-1)k = 2004$ for some positive integer $n,$ that is, exactly when $k$ divides $2004.$ Every divisor works, since $n - 1 = \frac{2004}{k}$ is then a positive integer.

Since $2004 = 2^2 \cdot 3 \cdot 167,$ the number of divisors is $(2+1)(1+1)(1+1) = 12.$

2005 AIME I 第 2 题

答案：12

难度评级：1840

解答：

其他年份的第 2 题