Question

集合 $\mathcal{A}$ 由 $m$ 个连续整数组成，它们的和为 $2m$ ，集合 $\mathcal{B}$ 由 $2m$ 个连续整数组成，它们的和为 $m$ 。 $\mathcal{A}$ 中最大元素与 $\mathcal{B}$ 中最大元素之差的绝对值为 $99$ 。求 $m$ 。

Set $\mathcal{A}$ consists of $m$ consecutive integers whose sum is $2m,$ and set $\mathcal{B}$ consists of $2m$ consecutive integers whose sum is $m.$ The absolute value of the difference between the greatest element of $\mathcal{A}$ and the greatest element of $\mathcal{B}$ is $99.$ Find $m.$

答案

答案：201

知识点：等差数列平均数绝对值

难度评级：2110

解答：

$\mathcal{A}$ 中 $m$ 个整数的平均值是 $\frac{2m}{m} = 2$ ，所以它们以 $2$ 为中心。连续整数的平均值是整数时，项数必须为奇数，因此 $m$ 为奇数， $\mathcal{A}$ 中最大元素为 $2 + \frac{m-1}{2}$ 。 $\mathcal{B}$ 中 $2m$ 个整数的平均值为 $\frac{1}{2}$ ，所以它们是 $1 - m, \ldots, 0, 1, \ldots, m$ ，最大元素为 $m$ 。

条件给出 $\begin{aligned} \left| 2 + \frac{m-1}{2} - m \right| &= \left| \frac{3 - m}{2} \right| \\ &= 99, \end{aligned}$ 所以 $|3 - m| = 198$ ，得 $m = 201$ （因为 $m \gt 0$ ）。确实 $201$ 是奇数，符合要求，因此 $m = 201$ 。

The $m$ integers of $\mathcal{A}$ have mean $\frac{2m}{m} = 2,$ so they are centered at $2;$ since the mean of consecutive integers is an integer only when there are an odd number of them, $m$ is odd and the greatest element of $\mathcal{A}$ is $2 + \frac{m-1}{2}.$ The $2m$ integers of $\mathcal{B}$ have mean $\frac{1}{2},$ so they are $1 - m, \ldots, 0, 1, \ldots, m,$ with greatest element $m.$

The condition is $\begin{aligned} \left| 2 + \frac{m-1}{2} - m \right| &= \left| \frac{3 - m}{2} \right| \\ &= 99, \end{aligned}$ so $|3 - m| = 198,$ giving $m = 201$ (since $m \gt 0$ ). Indeed $201$ is odd, as required, so $m = 201.$

2004 AIME I 第 2 题

答案：201

难度评级：2110

解答：

其他年份的第 2 题