Question

从区间 $0^\circ \lt x \lt 90^\circ$ 中随机选取角 $x$ 。设 $p$ 为 $\sin^2 x$ ， $\cos^2 x$ ，和 $\sin x \cos x$ 不能作为一个三角形三边长的概率。已知 $p = \frac{d}{n}$ ，其中 $d$ 是 $\arctan m$ 的度数，且 $m$ 和 $n$ 是满足 $m + n \lt 1000$ 的正整数。求 $m + n$ 。

An angle $x$ is chosen at random from the interval $0^\circ \lt x \lt 90^\circ.$ Let $p$ be the probability that the numbers $\sin^2 x,$ $\cos^2 x,$ and $\sin x \cos x$ are not the lengths of the sides of a triangle. Given that $p = \frac{d}{n},$ where $d$ is the number of degrees in $\arctan m$ and $m$ and $n$ are positive integers with $m + n \lt 1000,$ find $m + n.$

答案

答案：92

知识点：几何概率三角不等式三角恒等式

难度评级：2710

解答：

将 $x$ 替换为 $90^\circ - x$ 会交换 $\sin x$ 与 $\cos x$ ，所以在 $(45^\circ, 90^\circ)$ 上的失败概率与在 $(0^\circ, 45^\circ)$ 上相同，只需考虑 $0^\circ \lt x \le 45^\circ$ 。在此范围内 $\cos^2 x \ge \sin x \cos x \ge \sin^2 x$ ，因此这三个数不能组成三角形当且仅当 $\cos^2 x \ge \sin^2 x + \sin x \cos x.$

因为 $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ ，且 $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ ，这等价于 $\cos 2x \ge \frac{1}{2} \sin 2x$ ，即 $\tan 2x \le 2$ 。由于正切函数在该范围内递增，这恰好在 $x \le \frac{1}{2}\arctan 2$ 时发生。

因此所以 $m = 2$ 、 $n = 90$ ，且 $m + n = 92 \lt 1000$ ，答案为 $92$ 。 $p = \frac{\frac{1}{2}\arctan 2}{45^\circ} = \frac{\arctan 2}{90^\circ},$

Replacing $x$ by $90^\circ - x$ swaps $\sin x$ and $\cos x,$ so the failure probability on $(45^\circ, 90^\circ)$ matches that on $(0^\circ, 45^\circ),$ and it suffices to consider $0^\circ \lt x \le 45^\circ.$ There $\cos^2 x \ge \sin x \cos x \ge \sin^2 x,$ so the three numbers fail to form a triangle exactly when $\cos^2 x \ge \sin^2 x + \sin x \cos x.$

Since $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ and $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x,$ this says $\cos 2x \ge \frac{1}{2} \sin 2x,$ i.e. $\tan 2x \le 2.$ Because tangent increases on this range, that happens exactly for $x \le \frac{1}{2}\arctan 2.$

Therefore $p = \frac{\frac{1}{2}\arctan 2}{45^\circ} = \frac{\arctan 2}{90^\circ},$ so $m = 2$ and $n = 90,$ with $m + n = 92 \lt 1000,$ and the answer is $92.$

2003 AIME I 第 11 题

答案：92

难度评级：2710

解答：

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