Question

求最小的正整数 $k$ ，使得方程 $\left\lfloor \frac{2002}{n} \right\rfloor = k$ 没有整数解 $n$ 。（记号 $\lfloor x \rfloor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。）

Find the least positive integer $k$ for which the equation $\left\lfloor \frac{2002}{n} \right\rfloor = k$ has no integer solutions for $n.$ (The notation $\lfloor x \rfloor$ means the greatest integer less than or equal to $x.$ )

答案

答案：49

知识点：取整函数区间内整数计数

难度评级：2560

解答：

值 $k$ 能被取到，当且仅当某个整数 $n$ 满足 $k \le \frac{2002}{n} \lt k + 1$ ，也就是区间 $\left(\frac{2002}{k+1}, \frac{2002}{k}\right]$ 中含有整数。它的长度为 $\frac{2002}{k(k+1)}$ ，当 $k(k+1) \le 2002$ 时至少为 $1$ ，所以所有 $k \le 44$ 都能被取到。

对更大的 $k$ ，直接检查： $n = 44, 43, 42, 41, 40$ 分别给出 $\left\lfloor \frac{2002}{n} \right\rfloor = 45, 46, 47, 48, 50$ 。因为 $\frac{2002}{41} \approx 48.8$ 且 $\frac{2002}{40} \gt 50$ 值 $49$ 永远取不到，所以最小的这样的 $k$ 是 $49$ 。

The value $k$ is attained exactly when some integer $n$ satisfies $k \le \frac{2002}{n} \lt k + 1,$ that is, when the interval $\left(\frac{2002}{k+1}, \frac{2002}{k}\right]$ contains an integer. Its length is $\frac{2002}{k(k+1)},$ which is at least $1$ whenever $k(k+1) \le 2002$ — so every $k \le 44$ is attained.

For larger $k,$ check directly: $n = 44, 43, 42, 41, 40$ give $\left\lfloor \frac{2002}{n} \right\rfloor = 45, 46, 47, 48, 50.$ Since $\frac{2002}{41} \approx 48.8$ and $\frac{2002}{40} \gt 50,$ the value $49$ is never attained, so the least such $k$ is $49.$

2002 AIME II 第 8 题

答案：49

难度评级：2560

解答：

其他年份的第 8 题