Question

某函数 $f$ 满足：对所有正实数 $x$ ，都有 $f(3x) = 3f(x)$ ；并且当 $1 \le x \le 3$ 时， $f(x) = 1 - |x - 2|$ 。求满足 $f(x) = f(2001)$ 的最小 $x$ 。

A certain function $f$ has the properties that $f(3x) = 3f(x)$ for all positive real values of $x,$ and that $f(x) = 1 - |x - 2|$ for $1 \le x \le 3.$ Find the smallest $x$ for which $f(x) = f(2001).$

答案

答案：429

知识点：函数方程绝对值

难度评级：2560

解答：

连续使用 $f(3x) = 3f(x)$ 六次得 $f(2001) = 3^6 f\left(\frac{2001}{729}\right)$ ，且 $\frac{2001}{729}$ 在 $[1, 3]$ 中，所以 $\begin{aligned} f(2001) &= 729\left(1 - \left|\tfrac{2001}{729} - 2\right|\right) \\ &= 729 - |2001 - 1458| \\ &= 729 - 543 = 186. \end{aligned}$

对 $x \in [3^k, 3^{k+1}]$ 有 $f(x) = 3^k f\left(\frac{x}{3^k}\right)$ $= 3^k\left(1 - \left|\frac{x}{3^k} - 2\right|\right)$ ，这是一个最大值为 $3^k$ 的帐篷形函数。要取得 $186$ ，需要 $3^k \ge 186$ ，所以 $k \ge 5$ 。最小的解会在 $[243, 729]$ 中，此时 $f(x) = 243 - |x - 486|$ 。

令 $243 - |x - 486| = 186$ ，得 $|x - 486| = 57$ ，所以 $x = 429$ 或 $x = 543$ 。最小的 $x$ 是 $429$ 。

Applying $f(3x) = 3f(x)$ six times gives $f(2001) = 3^6 f\left(\frac{2001}{729}\right),$ and $\frac{2001}{729}$ lies in $[1, 3],$ so $\begin{aligned} f(2001) &= 729\left(1 - \left|\tfrac{2001}{729} - 2\right|\right) \\ &= 729 - |2001 - 1458| \\ &= 729 - 543 = 186. \end{aligned}$

For $x \in [3^k, 3^{k+1}],$ we have $f(x) = 3^k f\left(\frac{x}{3^k}\right)$ $= 3^k\left(1 - \left|\frac{x}{3^k} - 2\right|\right),$ a tent whose maximum value is $3^k.$ To achieve $186$ we need $3^k \ge 186,$ so $k \ge 5,$ and the smallest solutions lie in $[243, 729],$ where $f(x) = 243 - |x - 486|.$

Setting $243 - |x - 486| = 186$ gives $|x - 486| = 57,$ so $x = 429$ or $x = 543.$ The smallest $x$ is $429.$

2001 AIME II 第 8 题

答案：429

难度评级：2560

解答：

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