2001 AIME II 第 8 题

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8.

某函数

f

满足：对所有正实数

x

，都有

f(3x) = 3f(x)

；并且当

1 \le x \le 3

时，

f(x) = 1 - |x - 2|

。求满足

f(x) = f(2001)

的最小

x

。

A certain function

f

has the properties that

f(3x) = 3f(x)

for all positive real values of

x,

and that

f(x) = 1 - |x - 2|

for

1 \le x \le 3.

Find the smallest

x

for which

f(x) = f(2001).

答案

答案：429

知识点：函数方程绝对值

难度评级：2560

小提示：

用

f(x) = 3^6 f\left(\frac{x}{3^6}\right)

计算

f(2001)

，因为

\frac{2001}{729}

落在

[1, 3]

中。

Use

f(x) = 3^6 f\left(\frac{x}{3^6}\right)

to compute

f(2001),

since

\frac{2001}{729}

lies in

[1, 3]

大提示：

在

[3^k, 3^{k+1}]

上，图像是一个峰值为

3^k

的帐篷形；找第一个峰值达到

f(2001)

的区间。

On

[3^k, 3^{k+1}]

the graph is a tent peaking at height

3^k,

so look in the first interval whose peak reaches

f(2001)

解答：

连续使用

f(3x) = 3f(x)

六次得

f(2001) = 3^6 f\left(\frac{2001}{729}\right)

，且

\frac{2001}{729}

在

[1, 3]

中，所以

\begin{aligned} f(2001) &= 729\left(1 - \left|\tfrac{2001}{729} - 2\right|\right) \\ &= 729 - |2001 - 1458| \\ &= 729 - 543 = 186 \end{aligned}\text{。}

对

x \in [3^k, 3^{k+1}]

有

f(x) = 3^k f\left(\frac{x}{3^k}\right)

= 3^k\left(1 - \left|\frac{x}{3^k} - 2\right|\right)

，这是一个最大值为

3^k

的帐篷形函数。要取得

186

，需要

3^k \ge 186

，所以

k \ge 5

。最小的解会在

[243, 729]

中，此时

f(x) = 243 - |x - 486|

。

令

243 - |x - 486| = 186

，得

|x - 486| = 57

，所以

x = 429

或

x = 543

。最小的

x

是

429

。

Applying

f(3x) = 3f(x)

six times gives

f(2001) = 3^6 f\left(\frac{2001}{729}\right),

and

\frac{2001}{729}

lies in

[1, 3],

so

\begin{aligned} f(2001) &= 729\left(1 - \left|\tfrac{2001}{729} - 2\right|\right) \\ &= 729 - |2001 - 1458| \\ &= 729 - 543 = 186. \end{aligned}

For

x \in [3^k, 3^{k+1}],

we have

f(x) = 3^k f\left(\frac{x}{3^k}\right)

= 3^k\left(1 - \left|\frac{x}{3^k} - 2\right|\right),

a tent whose maximum value is

3^k.

To achieve

186

we need

3^k \ge 186,

so

k \ge 5,

and the smallest solutions lie in

[243, 729],

where

f(x) = 243 - |x - 486|.

Setting

243 - |x - 486| = 186

gives

|x - 486| = 57,

so

x = 429

or

x = 543.

The smallest

x

is

429.