Question

一组正数若有三个不同元素可以作为某个面积为正的三角形的边长，则称它具有三角形性质。考虑由连续正整数组成的集合 $\{4, 5, 6, \ldots, n\}$ ，并且它的每个十元素子集都具有三角形性质。求 $n$ 的最大可能值。

A set of positive numbers has the triangle property if it has three distinct elements that are the lengths of the sides of a triangle whose area is positive. Consider sets $\{4, 5, 6, \ldots, n\}$ of consecutive positive integers, all of whose ten-element subsets have the triangle property. What is the largest possible value of $n?$

答案

答案：253

知识点：三角不等式斐波那契数列极端原理

难度评级：2390

解答：

设某个十元素集合 $\{a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_{10}\}$ 没有三角形。那么任意三个元素都不满足严格三角不等式；特别地，对每个 $i$ ，都有 $a_{i+2} \ge a_{i+1} + a_i$ 。从 $a_1 \ge 4$ 和 $a_2 \ge 5$ 出发，依次迫使 $a_3 \ge 9$ 、 $a_4 \ge 14$ 、 $a_5 \ge 23$ 、 $a_6 \ge 37$ 、 $a_7 \ge 60$ 、 $a_8 \ge 97$ 、 $a_9 \ge 157$ ，且 $a_{10} \ge 254$ 。

因此若 $n \le 253$ ， $\{4, 5, \ldots, n\}$ 的任何十元素子集都无法避开三角形，因为它的最大元素至少要达到 $254$ 。反过来，取每一步都等号成立， $\{4, 5, 9, 14, 23$ ， $37, 60, 97, 157, 254\}$ 是 $\{4, 5, \ldots, 254\}$ 中一个没有三角形的子集。

所以最大可能值为 $n = 253$ 。

Suppose a ten-element set $\{a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_{10}\}$ has no triangle. Then every three elements fail the strict triangle inequality; in particular $a_{i+2} \ge a_{i+1} + a_i$ for each $i.$ Starting from $a_1 \ge 4$ and $a_2 \ge 5,$ this forces $a_3 \ge 9,$ $a_4 \ge 14,$ $a_5 \ge 23,$ $a_6 \ge 37,$ $a_7 \ge 60,$ $a_8 \ge 97,$ $a_9 \ge 157,$ and $a_{10} \ge 254.$

So if $n \le 253,$ no ten-element subset of $\{4, 5, \ldots, n\}$ can avoid triangles, since its largest element would have to be at least $254.$ Conversely, taking equality throughout, the subset $\{4, 5, 9, 14, 23,$ $37, 60, 97, 157, 254\}$ of $\{4, 5, \ldots, 254\}$ has no triangle.

Therefore the largest possible value is $n = 253.$

2001 AIME II 第 5 题

答案：253

难度评级：2390

解答：

其他年份的第 5 题