Question

一个等边三角形内接于椭圆 $x^2 + 4y^2 = 4$ 。三角形的一个顶点为 $(0, 1)$ ，且有一条高在 $y$ -轴上。若每条边的长度为 $\sqrt{\frac{m}{n}}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m + n$ 。

An equilateral triangle is inscribed in the ellipse whose equation is $x^2 + 4y^2 = 4.$ One vertex of the triangle is $(0, 1),$ one altitude is contained in the $y$ -axis, and the length of each side is $\sqrt{\frac{m}{n}},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：937

知识点：椭圆等边三角形坐标几何对称性

难度评级：2510

解答：

因为有一条高在 $y$ -轴上，另外两个顶点对称，可写为 $(x, y)$ 和 $(-x, y)$ ，其中 $x \gt 0$ 。从 $(0,1)$ 到 $(x,y)$ 的边与正 $x$ -轴成 $120^\circ$ 角，所以它在直线 $y = -\sqrt{3}\,x + 1$ 上。

代入椭圆方程 $x^2 + 4y^2 = 4$ ，得 $x^2 + 4(1 - \sqrt{3}x)^2 = 4$ ，化简为 $13x^2 - 8\sqrt{3}\,x = 0$ ，因此 $x = \frac{8\sqrt{3}}{13}$ 。

边长为 $2x = \frac{16\sqrt{3}}{13}$ ，其平方为 $\frac{768}{169}$ 。由于 $\gcd(768, 169) = 1$ ，答案为 $768 + 169 = 937$ 。

Since one altitude lies along the $y$ -axis, the other two vertices are symmetric: $(x, y)$ and $(-x, y)$ with $x \gt 0.$ The side from $(0,1)$ to $(x,y)$ makes a $120^\circ$ angle with the positive $x$ -axis, so it lies on the line $y = -\sqrt{3}\,x + 1.$

Substituting into $x^2 + 4y^2 = 4$ gives $x^2 + 4(1 - \sqrt{3}x)^2 = 4,$ which simplifies to $13x^2 - 8\sqrt{3}\,x = 0,$ so $x = \frac{8\sqrt{3}}{13}.$

The side length is $2x = \frac{16\sqrt{3}}{13},$ whose square is $\frac{768}{169}.$ Since $\gcd(768, 169) = 1,$ the answer is $768 + 169 = 937.$

2001 AIME I 第 5 题

答案：937

难度评级：2510

解答：

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