Question

每个正整数 $k$ 都有唯一的阶乘进制展开 $(f_1, f_2, f_3, \ldots, f_m)$ ，意思是 $k = 1! \cdot f_1 + 2! \cdot f_2$ $+ 3! \cdot f_3 + \cdots + m! \cdot f_m$ ，其中每个 $f_i$ 都是整数，且 $0 \le f_i \le i$ 、 $0 \lt f_m$ 。已知 $(f_1, f_2, f_3, \ldots, f_j)$ 是的阶乘进制展开。求 $f_1 - f_2 + f_3$ $- f_4 + \cdots + (-1)^{j+1} f_j$ 的值。 $\begin{aligned} &16! - 32! + 48! \\ &\quad {}- 64! + \cdots + 1968! \\ &\quad {}- 1984! + 2000!, \end{aligned}$

Every positive integer $k$ has a unique factorial base expansion $(f_1, f_2, f_3, \ldots, f_m),$ meaning that $k = 1! \cdot f_1 + 2! \cdot f_2$ $+ 3! \cdot f_3 + \cdots + m! \cdot f_m,$ where each $f_i$ is an integer, $0 \le f_i \le i,$ and $0 \lt f_m.$ Given that $(f_1, f_2, f_3, \ldots, f_j)$ is the factorial base expansion of $\begin{aligned} &16! - 32! + 48! \\ &\quad {}- 64! + \cdots + 1968! \\ &\quad {}- 1984! + 2000!, \end{aligned}$ find the value of $f_1 - f_2 + f_3$ $- f_4 + \cdots + (-1)^{j+1} f_j.$

答案

答案：495

知识点：进制阶乘裂项相消

难度评级：3060

解答：

因为 $(i+1)! - i! = i \cdot i!$ ，望远镜求和给出 $a! - b! = \sum_{i=b}^{a-1} i \cdot i!$ ，其中 $a \gt b$ 。把题中的数分组为其中有 $62$ 个括号内的组 $(32j + 16)! - (32j)!$ ， $j = 1, \ldots, 62$ 。 $\begin{aligned} &16! + (48! - 32!) + (80! - 64!) \\ &\quad {}+ \cdots + (2000! - 1984!), \end{aligned}$

第 $j$ 组贡献阶乘进制数字 $f_i = i$ ，范围为 $32j \le i \le 32j + 15$ ；单独的 $16!$ 贡献 $f_{16} = 1$ ；其他所有数字都是 $0$ 。每个数字都满足 $0 \le f_i \le i$ ，所以由唯一性，这就是阶乘进制展开。

在交错和中， $f_{16} = 1$ 位于偶数下标，贡献 $-1$ 。每组的范围从偶数下标开始，长度为 $16$ 可分成 $8$ 对连续下标，每对贡献 $-i + (i + 1) = 1$ ，所以每组贡献 $+8$ 。总和为 $62 \cdot 8 - 1 = 495$ 。

Since $(i+1)! - i! = i \cdot i!,$ telescoping gives $a! - b! = \sum_{i=b}^{a-1} i \cdot i!$ for $a \gt b.$ Group the given number as $\begin{aligned} &16! + (48! - 32!) + (80! - 64!) \\ &\quad {}+ \cdots + (2000! - 1984!), \end{aligned}$ with $62$ parenthesized groups $(32j + 16)! - (32j)!$ for $j = 1, \ldots, 62.$

The group for $j$ contributes factorial-base digits $f_i = i$ for $32j \le i \le 32j + 15,$ and the lone $16!$ contributes $f_{16} = 1;$ all other digits are $0.$ Every digit satisfies $0 \le f_i \le i,$ so by uniqueness this is the factorial base expansion.

In the alternating sum, $f_{16} = 1$ sits at an even index and contributes $-1.$ Each group's range starts at an even index and has length $16,$ so it splits into $8$ consecutive pairs, each contributing $-i + (i + 1) = 1,$ for $+8$ per group. The total is $62 \cdot 8 - 1 = 495.$

2000 AIME II 第 14 题

答案：495

难度评级：3060

解答：

其他年份的第 14 题