1999 AIME 第 11 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

11.

已知

\sum_{k=1}^{35} \sin 5k = \tan \frac{m}{n}

，角度以度为单位，且

m

和

n

是互质的正整数，并满足

\frac{m}{n} \lt 90

，求

m + n

。

Given that

\sum_{k=1}^{35} \sin 5k = \tan \frac{m}{n},

where angles are measured in degrees, and

m

and

n

are relatively prime positive integers that satisfy

\frac{m}{n} \lt 90,

find

m + n.

答案

答案：177

知识点：三角恒等式裂项相消

难度评级：2560

小提示：

将和式乘以

2 \sin 2.5^\circ

，并使用

2 \sin\alpha \sin\beta

= \cos(\alpha - \beta)

- \cos(\alpha + \beta)

来裂项求和

Multiply the sum by

2 \sin 2.5^\circ

and use

2 \sin\alpha \sin\beta

= \cos(\alpha - \beta)

- \cos(\alpha + \beta)

to telescope

大提示：

剩下的两项可用

\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta

合并；最后使用

\cot\theta = \tan(90^\circ - \theta)

The two surviving terms combine because

\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta;

finish with

\cot\theta = \tan(90^\circ - \theta)

解答：

将该和式乘以

2 \sin 2.5^\circ

，并应用

2 \sin 5k^\circ \sin 2.5^\circ

= \cos(5k - 2.5)^\circ

- \cos(5k + 2.5)^\circ

，于是和式裂项相消：

\begin{aligned} &2 \sin 2.5^\circ \sum_{k=1}^{35} \sin 5k^\circ \\ &= \cos 2.5^\circ - \cos 177.5^\circ \\ &= 2\cos 2.5^\circ \end{aligned}\text{。}

因此该和等于

\frac{\cos 2.5^\circ}{\sin 2.5^\circ}

= \cot 2.5^\circ

= \tan 87.5^\circ

= \tan \frac{175}{2}^\circ

。因为

\gcd(175, 2) = 1

且

\frac{175}{2} \lt 90

，得

m + n = 175 + 2 = 177

。

Multiply the sum by

2 \sin 2.5^\circ

and apply

2 \sin 5k^\circ \sin 2.5^\circ

= \cos(5k - 2.5)^\circ

- \cos(5k + 2.5)^\circ,

so the sum telescopes:

\begin{aligned} &2 \sin 2.5^\circ \sum_{k=1}^{35} \sin 5k^\circ \\ &= \cos 2.5^\circ - \cos 177.5^\circ \\ &= 2\cos 2.5^\circ. \end{aligned}

Hence the sum equals

\frac{\cos 2.5^\circ}{\sin 2.5^\circ}

= \cot 2.5^\circ

= \tan 87.5^\circ

= \tan \frac{175}{2}^\circ.

Since

\gcd(175, 2) = 1

and

\frac{175}{2} \lt 90,

we get

m + n = 175 + 2 = 177.