Question

令 $v$ 和 $w$ 为方程 $z^{1997} - 1 = 0$ 的两个不同的随机选取的根。设 $\frac{m}{n}$ 为满足 $\sqrt{2 + \sqrt{3}} \le |v + w|$ 的概率，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

Let $v$ and $w$ be distinct, randomly chosen roots of the equation $z^{1997} - 1 = 0.$ Let $\frac{m}{n}$ be the probability that $\sqrt{2 + \sqrt{3}} \le |v + w|,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：582

知识点：单位根三角恒等式基本概率

难度评级：2920

解答：

由旋转对称性，可以固定 $v$ ，令 $w = v e^{2\pi i k/1997}$ ，其中 $k$ 在 $\{1, 2, \ldots, 1996\}$ 中均匀取值。于是又因为 $\left(2\cos 15^\circ\right)^2 = 2 + 2\cos 30^\circ$ $= 2 + \sqrt{3}$ ，所以阈值为 $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = 2\cos\frac{\pi}{12}$ 。 $\begin{aligned} |v + w| &= \left|1 + e^{2\pi i k/1997}\right| \\ &= 2\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right|. \end{aligned}$

条件 $\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right| \ge \cos\frac{\pi}{12}$ 恰好在 $\frac{\pi k}{1997}$ 与 $0$ 或 $\pi$ 的距离不超过 $\frac{\pi}{12}$ 时成立，即 $k \le \frac{1997}{12} = 166.41\ldots$ 或 $k \ge \frac{11 \cdot 1997}{12} = 1830.58\ldots$ 。共有 $166 + 166 = 332$ 个有利的 $k$ 。

概率为 $\frac{332}{1996} = \frac{83}{499}$ ，且 $499$ 是素数，所以 $m + n = 83 + 499 = 582$ 。

By rotational symmetry we may fix $v$ and let $w = v e^{2\pi i k/1997}$ with $k$ uniform in $\{1, 2, \ldots, 1996\}.$ Then $\begin{aligned} |v + w| &= \left|1 + e^{2\pi i k/1997}\right| \\ &= 2\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right|. \end{aligned}$ Also $\left(2\cos 15^\circ\right)^2 = 2 + 2\cos 30^\circ$ $= 2 + \sqrt{3},$ so the threshold is $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = 2\cos\frac{\pi}{12}.$

The condition $\left|\cos\frac{\pi k}{1997}\right| \ge \cos\frac{\pi}{12}$ holds exactly when $\frac{\pi k}{1997}$ is within $\frac{\pi}{12}$ of $0$ or of $\pi,$ i.e. $k \le \frac{1997}{12} = 166.41\ldots$ or $k \ge \frac{11 \cdot 1997}{12} = 1830.58\ldots.$ That gives $166 + 166 = 332$ favorable values of $k.$

The probability is $\frac{332}{1996} = \frac{83}{499},$ and $499$ is prime, so $m + n = 83 + 499 = 582.$

1997 AIME 第 14 题

答案：582

难度评级：2920

解答：

其他年份的第 14 题