Question

设 $k$ 为实数，使方程组恰好有一个复数解 $z$ 。所有可能的 $k$ 的和可写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 为互质正整数。求 $m + n$ 。这里 $i = \sqrt{-1}$ 。 $|25 + 20i - z| = 5$ $|z - 4 - k| = |z - 3i - k|$

Let $k$ be a real number such that the system $|25 + 20i - z| = 5$ $|z - 4 - k| = |z - 3i - k|$ has exactly one complex solution $z.$ The sum of all possible values of $k$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$ Here $i = \sqrt{-1}.$

答案

答案：77

知识点：复数垂直平分线切线

难度评级：2560

解答：

第一个方程表示 $z$ 位于以 $(25, 20)$ 为圆心、半径为 $5$ 的圆上。第二个方程表示 $z$ 到 $P_1 = (k + 4, 0)$ 与 $P_2 = (k, 3)$ 的距离相等，也就是位于 $\overline{P_1 P_2}$ 的垂直平分线上。方程组恰好有一个解，当且仅当这条直线与该圆相切。

中点为 $\left(k + 2, \frac{3}{2}\right)$ ，而 $\overline{P_1 P_2}$ 的斜率为 $-\frac{3}{4}$ ，所以垂直平分线斜率为 $\frac{4}{3}$ ：标准式为 $8x - 6y - (8k + 7) = 0$ 。相切要求所以 $8k = 73 \pm 50$ ，得到 $k = \frac{123}{8}$ 或 $k = \frac{23}{8}$ 。 $\begin{gathered} \frac{|8 \cdot 25 - 6 \cdot 20 - 8k - 7|}{\sqrt{8^2 + 6^2}} \\ = \frac{|73 - 8k|}{10} \\ = 5, \end{gathered}$

两者之和为 $\frac{146}{8} = \frac{73}{4}$ ，所以 $m + n = 73 + 4 = 77$ 。

The first equation says $z$ lies on the circle of radius $5$ centered at $(25, 20).$ The second says $z$ is equidistant from $P_1 = (k + 4, 0)$ and $P_2 = (k, 3),$ i.e. it lies on the perpendicular bisector of $\overline{P_1 P_2}.$ The system has exactly one solution precisely when this line is tangent to the circle.

The midpoint is $\left(k + 2, \frac{3}{2}\right)$ and $\overline{P_1 P_2}$ has slope $-\frac{3}{4},$ so the bisector has slope $\frac{4}{3}:$ in standard form $8x - 6y - (8k + 7) = 0.$ Tangency requires $\begin{gathered} \frac{|8 \cdot 25 - 6 \cdot 20 - 8k - 7|}{\sqrt{8^2 + 6^2}} \\ = \frac{|73 - 8k|}{10} \\ = 5, \end{gathered}$ so $8k = 73 \pm 50,$ giving $k = \frac{123}{8}$ or $k = \frac{23}{8}.$

The sum is $\frac{146}{8} = \frac{73}{4},$ so $m + n = 73 + 4 = 77.$

2025 AIME I 第 8 题

答案：77

难度评级：2560

解答：

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