Question

可以放置八个半径为 $34$ 的圆，使它们都与 $\triangle ABC$ 的 $\overline{BC}$ 相切，并且这些圆依次两两相切，第一个圆与 $\overline{AB}$ 相切，最后一个圆与 $\overline{AC}$ 相切，如图所示。类似地，也可以按同样方式放置 $2024$ 个半径为 $1$ 的圆，使它们都与 $\overline{BC}$ 相切。 $\triangle ABC$ 的内切圆半径可表示为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

Eight circles of radius $34$ can be placed tangent to $\overline{BC}$ of $\triangle ABC$ so that the circles are sequentially tangent to each other, with the first circle being tangent to $\overline{AB}$ and the last circle being tangent to $\overline{AC},$ as shown. Similarly, $2024$ circles of radius $1$ can be placed tangent to $\overline{BC}$ in the same manner. The inradius of $\triangle ABC$ can be expressed as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：197

知识点：相切圆内切圆、内心与内切圆半径三角学

难度评级：2560

解答：

对一条由 $n$ 个半径为 $\rho$ 的圆组成、且都与 $\overline{BC}$ 相切的圆链，圆心位于高度 $\rho$ 处，相邻圆心相距 $2\rho$ 。第一个圆与 $\overline{AB}$ 和 $\overline{BC}$ 相切，所以它的圆心在从 $B$ 出发的角平分线上，到 $B$ 的水平距离为 $\rho\cot\frac{B}{2}$ ；类似地，最后一个圆心到 $C$ 的距离为 $\rho\cot\frac{C}{2}$ 。因此令 $k = \cot\frac{B}{2} + \cot\frac{C}{2}$ ，有 $BC = \rho k + 2\rho(n - 1).$

两条圆链给出 $34k + 34 \cdot 14 = BC$ $= k + 2 \cdot 2023$ ，所以 $33k = 3570$ ， $k = \frac{1190}{11}$ ，从而 $BC = k + 4046 = \frac{45696}{11}$ 。

内切圆就是由一个半径为 $r$ 的圆组成的圆链： $BC = rk$ 。因此 $r = \frac{BC}{k} = \frac{45696}{1190} = \frac{192}{5},$ 所以 $m + n = 192 + 5 = 197$ 。

For a chain of $n$ circles of radius $\rho$ tangent to $\overline{BC},$ the centers lie at height $\rho$ with consecutive centers $2\rho$ apart. The first circle is tangent to $\overline{AB}$ and $\overline{BC},$ so its center lies on the bisector from $B,$ at horizontal distance $\rho\cot\frac{B}{2}$ from $B;$ similarly the last center is $\rho\cot\frac{C}{2}$ from $C.$ Hence with $k = \cot\frac{B}{2} + \cot\frac{C}{2},$ $BC = \rho k + 2\rho(n - 1).$

The two chains give $34k + 34 \cdot 14 = BC$ $= k + 2 \cdot 2023,$ so $33k = 3570$ and $k = \frac{1190}{11},$ whence $BC = k + 4046 = \frac{45696}{11}.$

The incircle is a chain of one circle of radius $r:$ $BC = rk.$ Therefore $r = \frac{BC}{k} = \frac{45696}{1190} = \frac{192}{5},$ and $m + n = 192 + 5 = 197.$

2024 AIME I 第 8 题

答案：197

难度评级：2560

解答：

其他年份的第 8 题