Question

求所有正整数 $n$ 的和，使得 $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3$ 除以 $n + 5$ 时余数为 $17$ 。

Find the sum of all positive integers $n$ such that when $1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3$ is divided by $n + 5,$ the remainder is $17.$

答案

答案：239

知识点：前n项立方和模运算整除性

难度评级：2710

解答：

令 $K = \frac{n(n+1)}{2}$ ，则立方和为 $K^2$ 。模 $n + 5$ 时有 $n \equiv -5$ ，因此 $2K = n(n+1)$ $\equiv (-5)(-4) = 20$ ，且 $4K^2 \equiv 400$ 。若 $K^2 \equiv 17 \pmod{n+5}$ ，则 $n + 5$ 整除 $400 - 4 \cdot 17 = 332 = 2^2 \cdot 83$ 。余数为 $17$ 还要求 $n + 5 \gt 17$ ，所以候选为 $n + 5 \in \{83, 166, 332\}$ ，即 $n \in \{78, 161, 327\}$ 。

因为我们乘过 $4$ ，每个候选都必须检查。对 $n = 78$ ： $K = 3081 \equiv 10 \pmod{83}$ ，且 $10^2 = 100 \equiv 17 \pmod{83}$ 。对 $n = 161$ ： $K = 13041 \equiv 93 \pmod{166}$ ，且 $93^2 = 8649 = 52 \cdot 166 + 17$ 。对 $n = 327$ ： $K = 53628 \equiv 176 \pmod{332}$ ，且 $176^2 = 30976 = 93 \cdot 332 + 100$ ，余数 $100 \ne 17$ ，所以此项不符合要求。

有效值为 $n = 78$ 和 $n = 161$ ，它们的和为 $78 + 161 = 239$ 。

Let $K = \frac{n(n+1)}{2},$ so the sum of cubes is $K^2.$ Modulo $n + 5$ we have $n \equiv -5,$ hence $2K = n(n+1)$ $\equiv (-5)(-4) = 20$ and $4K^2 \equiv 400.$ If $K^2 \equiv 17 \pmod{n+5},$ then $n + 5$ divides $400 - 4 \cdot 17 = 332 = 2^2 \cdot 83.$ Since a remainder of $17$ also forces $n + 5 \gt 17,$ the candidates are $n + 5 \in \{83, 166, 332\},$ i.e. $n \in \{78, 161, 327\}.$

Because we multiplied by $4,$ each candidate must be checked. For $n = 78:$ $K = 3081 \equiv 10 \pmod{83},$ and $10^2 = 100 \equiv 17 \pmod{83}.$ For $n = 161:$ $K = 13041 \equiv 93 \pmod{166},$ and $93^2 = 8649 = 52 \cdot 166 + 17.$ For $n = 327:$ $K = 53628 \equiv 176 \pmod{332},$ and $176^2 = 30976 = 93 \cdot 332 + 100,$ remainder $100 \ne 17,$ so this one fails.

The valid values are $n = 78$ and $n = 161,$ with sum $78 + 161 = 239.$

2020 AIME II 第 10 题

答案：239

难度评级：2710

解答：

其他年份的第 10 题