Question

给定 $f(z) = z^2 - 19z$ ，存在复数 $z$ 使得 $z$ 、 $f(z)$ ，和 $f(f(z))$ 是复平面中一个直角三角形的三个顶点，且直角在 $f(z)$ 处。存在正整数 $m$ 与 $n$ ，使某一个这样的 $z$ 等于 $m + \sqrt{n} + 11i$ 。求 $m + n$ 。

Given $f(z) = z^2 - 19z,$ there are complex numbers $z$ with the property that $z,$ $f(z),$ and $f(f(z))$ are the vertices of a right triangle in the complex plane with a right angle at $f(z).$ There are positive integers $m$ and $n$ such that one such value of $z$ is $m + \sqrt{n} + 11i.$ Find $m + n.$

答案

答案：230

知识点：复数多项式因式分解

难度评级：2920

解答：

因为 $f(w) - w = w(w - 20)$ ，所以在 $f(z)$ 处的两条边为其中用到 $f(z) = z(z - 19)$ 和 $f(z) - 20 = (z - 20)(z + 1)$ 。它们垂直恰好等价于它们的商 $(z - 19)(z + 1)$ 为非零纯虚数。 $\begin{gathered} f(z) - z = z(z - 20), \\ f(f(z)) - f(z) = f(z) \\ {}\cdot \bigl(f(z) - 20\bigr) \\ = z(z - 19)(z - 20) \\ {}\cdot (z + 1), \end{gathered}$

写 $z = x + 11i$ 。 $(z - 19)(z + 1) = z^2 - 18z - 19$ 的实部为 $x^2 - 121 - 18x - 19$ ，所以需要 $x^2 - 18x - 140 = 0$ ，得 $x = 9 \pm \sqrt{221}$ 为了符合 $m + \sqrt{n} + 11i$ 且 $m, n$ 为正整数的形式，必须取 $x = 9 + \sqrt{221}$ 。

因此 $m + n = 9 + 221 = 230$ 。

Since $f(w) - w = w(w - 20),$ the two legs at $f(z)$ are $\begin{gathered} f(z) - z = z(z - 20), \\ f(f(z)) - f(z) = f(z) \\ {}\cdot \bigl(f(z) - 20\bigr) \\ = z(z - 19)(z - 20) \\ {}\cdot (z + 1), \end{gathered}$ using $f(z) = z(z - 19)$ and $f(z) - 20 = (z - 20)(z + 1).$ They are perpendicular exactly when their quotient $(z - 19)(z + 1)$ is purely imaginary and nonzero.

Write $z = x + 11i.$ The real part of $(z - 19)(z + 1) = z^2 - 18z - 19$ is $x^2 - 121 - 18x - 19,$ so we need $x^2 - 18x - 140 = 0,$ giving $x = 9 \pm \sqrt{221}.$ The form $m + \sqrt{n} + 11i$ with $m, n$ positive integers requires $x = 9 + \sqrt{221}.$

Hence $m + n = 9 + 221 = 230.$

2019 AIME I 第 12 题

答案：230

难度评级：2920

解答：

其他年份的第 12 题