2018 AIME I 第 2 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

2.

数

n

在

14

进制中可写为

\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}

，在

15

进制中可写为

\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{b}

，在

6

进制中可写为

\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{a}\,\underline{c}

，其中

a \gt 0

。求

n

的

10

进制表示。

The number

n

can be written in base

14

as

\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c},

can be written in base

15

as

\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{b},

and can be written in base

6

as

\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{a}\,\underline{c},

where

a \gt 0.

Find the base-

10

representation of

n.

答案

答案：925

知识点：进制位值丢番图方程

难度评级：2180

小提示：

三种表示给出

196a + 14b + c = 225a + 15c + b

= 222a + 37c

。

The three representations give

196a + 14b + c = 225a + 15c + b

= 222a + 37c

大提示：

比较后两个式子得到

b = 22c - 3a

；代入第一个式子会迫使

a = 4c

，其中

a

与

c

是

6

进制数字

Comparing the last two gives

b = 22c - 3a;

substituting into the first forces

a = 4c,

where

a

and

c

are base-

6

digits

解答：

写出各位值，得

n = 196a + 14b + c

= 225a + 15c + b

= 222a + 37c

，其中

a

与

c

是

6

进制数字，满足

1 \le a \le 5

、

0 \le c \le 5

，并且

0 \le b \le 13

。

令后两个表达式相等，得

b = 22c - 3a

。把它代入

196a + 14b + c = 225a + 15c + b

（即

13b = 29a + 14c

），得到

13(22c - 3a) = 29a + 14c

，所以

272c = 68a

，即

a = 4c

。数字范围迫使

c = 1

、

a = 4

，于是

b = 22 - 12 = 10

，这是

14

进制与

15

进制中的有效数字。

因此

n = 222 \cdot 4 + 37 \cdot 1 = 925

。确实

925 = 196 \cdot 4 + 14 \cdot 10 + 1

与

14

进制表示相符。答案为

925

。

Writing out the place values,

n = 196a + 14b + c

= 225a + 15c + b

= 222a + 37c,

where

a

and

c

are base-

6

digits with

1 \le a \le 5

and

0 \le c \le 5,

and

0 \le b \le 13.

Equating the last two expressions gives

b = 22c - 3a.

Substituting into

196a + 14b + c = 225a + 15c + b

(which says

13b = 29a + 14c

) yields

13(22c - 3a) = 29a + 14c,

so

272c = 68a,

that is

a = 4c.

The digit bounds force

c = 1,

a = 4,

and then

b = 22 - 12 = 10,

which is a valid digit in bases

14

and

15.

Therefore

n = 222 \cdot 4 + 37 \cdot 1 = 925.

Indeed

925 = 196 \cdot 4 + 14 \cdot 10 + 1,

confirming the base-

14

form. The answer is

925.