Question

数 $n$ 在 $14$ 进制中可写为 $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ ，在 $15$ 进制中可写为 $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{b}$ ，在 $6$ 进制中可写为 $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{a}\,\underline{c}$ ，其中 $a \gt 0$ 。求 $n$ 的 $10$ 进制表示。

The number $n$ can be written in base $14$ as $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c},$ can be written in base $15$ as $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{b},$ and can be written in base $6$ as $\underline{a}\,\underline{c}\,\underline{a}\,\underline{c},$ where $a \gt 0.$ Find the base- $10$ representation of $n.$

答案

答案：925

知识点：进制位值丢番图方程

难度评级：2180

解答：

写出各位值，得 $n = 196a + 14b + c$ $= 225a + 15c + b$ $= 222a + 37c$ ，其中 $a$ 与 $c$ 是 $6$ 进制数字，满足 $1 \le a \le 5$ 、 $0 \le c \le 5$ ，并且 $0 \le b \le 13$ 。

令后两个表达式相等，得 $b = 22c - 3a$ 。把它代入 $196a + 14b + c = 225a + 15c + b$ （即 $13b = 29a + 14c$ ），得到 $13(22c - 3a) = 29a + 14c$ ，所以 $272c = 68a$ ，即 $a = 4c$ 。数字范围迫使 $c = 1$ 、 $a = 4$ ，于是 $b = 22 - 12 = 10$ ，这是 $14$ 进制与 $15$ 进制中的有效数字。

因此 $n = 222 \cdot 4 + 37 \cdot 1 = 925$ 。确实 $925 = 196 \cdot 4 + 14 \cdot 10 + 1$ 与 $14$ 进制表示相符。答案为 $925$ 。

Writing out the place values, $n = 196a + 14b + c$ $= 225a + 15c + b$ $= 222a + 37c,$ where $a$ and $c$ are base- $6$ digits with $1 \le a \le 5$ and $0 \le c \le 5,$ and $0 \le b \le 13.$

Equating the last two expressions gives $b = 22c - 3a.$ Substituting into $196a + 14b + c = 225a + 15c + b$ (which says $13b = 29a + 14c$ ) yields $13(22c - 3a) = 29a + 14c,$ so $272c = 68a,$ that is $a = 4c.$ The digit bounds force $c = 1,$ $a = 4,$ and then $b = 22 - 12 = 10,$ which is a valid digit in bases $14$ and $15.$

Therefore $n = 222 \cdot 4 + 37 \cdot 1 = 925.$ Indeed $925 = 196 \cdot 4 + 14 \cdot 10 + 1,$ confirming the base- $14$ form. The answer is $925.$

2018 AIME I 第 2 题

答案：925

难度评级：2180

解答：

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