Question

从区间 $(0, 75)$ 中独立且均匀随机选取两个实数 $a$ 和 $b$ 。设 $O$ 和 $P$ 是平面上两个点，且 $OP = 200$ 。点 $Q$ 和 $R$ 位于直线 $OP$ 的同侧，并满足 $\angle POQ$ 和 $\angle POR$ 的度数分别为 $a$ 和 $b$ ，且 $\angle OQP$ 和 $\angle ORP$ 都是直角。若 $QR \le 100$ 的概率等于 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m + n$ 。

Two real numbers $a$ and $b$ are chosen independently and uniformly at random from the interval $(0, 75).$ Let $O$ and $P$ be two points in the plane with $OP = 200.$ Let $Q$ and $R$ be points on the same side of line $OP$ such that the degree measures of $\angle POQ$ and $\angle POR$ are $a$ and $b,$ respectively, and $\angle OQP$ and $\angle ORP$ are both right angles. The probability that $QR \le 100$ is equal to $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：41

知识点：几何概率圆周角弦三角学

难度评级：2920

解答：

因为 $\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ$ ，点 $Q$ 和 $R$ 都在以 $\overline{OP}$ 为直径的圆上，该圆半径为 $100$ 。角 $\angle QOR = |a - b|$ 是这个圆中的圆周角，所以弦长满足 $QR = 2 \cdot 100 \cdot \sin|a - b|$ 。因为 $|a - b| \lt 75^\circ$ ，条件 $QR \le 100$ ，也就是 $\sin|a - b| \le \frac{1}{2}$ ，等价于 $|a - b| \le 30$ 。

在等可能的 $(a, b)$ 所组成的 $75 \times 75$ 正方形中，区域 $|a - b| \gt 30$ 由两个直角三角形组成，每个三角形的直角边长为 $75 - 30 = 45$ ，所以所求概率为 $1 - \frac{45^2}{75^2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.$

因此 $m + n = 16 + 25 = 41$ 。

Since $\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ,$ both $Q$ and $R$ lie on the circle with diameter $\overline{OP},$ whose radius is $100.$ The angle $\angle QOR = |a - b|$ is an inscribed angle in this circle, so the chord satisfies $QR = 2 \cdot 100 \cdot \sin|a - b|.$ Because $|a - b| \lt 75^\circ,$ the condition $QR \le 100,$ i.e. $\sin|a - b| \le \frac{1}{2},$ is equivalent to $|a - b| \le 30.$

In the $75 \times 75$ square of equally likely pairs $(a, b),$ the region $|a - b| \gt 30$ consists of two right triangles with legs $75 - 30 = 45,$ so the probability is $1 - \frac{45^2}{75^2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.$

Therefore $m + n = 16 + 25 = 41.$

2017 AIME I 第 8 题

答案：41

难度评级：2920

解答：

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