Question

给定一个半径为 $\sqrt{13}$ 的圆，设 $A$ 是到圆心 $O$ 距离为 $4 + \sqrt{13}$ 的一点。设 $B$ 是圆上离点 $A$ 最近的点。一条过点 $A$ 的直线与圆交于点 $K$ 和 $L$ 。 $\triangle BKL$ 的最大可能面积可写成 $\frac{a - b\sqrt{c}}{d}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 是正整数， $a$ 和 $d$ 互质，且 $c$ 不被任何质数平方整除。求 $a + b + c + d$ 。

Given a circle of radius $\sqrt{13},$ let $A$ be a point at a distance $4 + \sqrt{13}$ from the center $O$ of the circle. Let $B$ be the point on the circle nearest to point $A.$ A line passing through the point $A$ intersects the circle at points $K$ and $L.$ The maximum possible area for $\triangle BKL$ can be written in the form $\frac{a - b\sqrt{c}}{d},$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers, $a$ and $d$ are relatively prime, and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c + d.$

答案

答案：146

知识点：圆三角形面积最优化

难度评级：2840

解答：

最近点 $B$ 在线段 $OA$ 上，满足 $OB = \sqrt{13}$ 且 $AB = 4$ 。三角形 $OKL$ 和 $BKL$ 共用底边 $KL$ ，它们的高分别是 $O$ 和 $B$ 到过 $A$ 的那条直线的距离。对直线 $OA$ 上任意一点 $P$ ，该距离为 $PA\sin\varphi$ ，其中 $\varphi$ 是两条直线的夹角，所以 $\frac{[BKL]}{[OKL]} = \frac{AB}{AO} = \frac{4}{4 + \sqrt{13}}.$

因为 $OK = OL = \sqrt{13}$ ，所以 $[OKL] = \frac{13}{2}\sin(\angle KOL) \le \frac{13}{2}$ ，等号在 $\angle KOL = 90^\circ$ 时成立。这样的弦到 $O$ 的距离为 $\sqrt{13/2}$ ，小于 $OA$ ，所以某条过 $A$ 的直线能够实现它。

最大面积为所以 $a + b + c + d$ $= 104 + 26 + 13 + 3$ $= 146$ 。 $\begin{aligned} [BKL] &= \frac{13}{2} \cdot \frac{4}{4 + \sqrt{13}} \\ &= \frac{26}{4 + \sqrt{13}} = \frac{26(4 - \sqrt{13})}{3} \\ &= \frac{104 - 26\sqrt{13}}{3}, \end{aligned}$

The nearest point $B$ lies on segment $OA$ with $OB = \sqrt{13}$ and $AB = 4.$ Triangles $OKL$ and $BKL$ share the base $KL,$ and their heights are the distances from $O$ and $B$ to the line through $A.$ For any point $P$ on line $OA,$ that distance is $PA\sin\varphi,$ where $\varphi$ is the angle between the two lines, so $\frac{[BKL]}{[OKL]} = \frac{AB}{AO} = \frac{4}{4 + \sqrt{13}}.$

Since $OK = OL = \sqrt{13},$ we have $[OKL] = \frac{13}{2}\sin(\angle KOL) \le \frac{13}{2},$ with equality when $\angle KOL = 90^\circ.$ Such a chord lies at distance $\sqrt{13/2}$ from $O,$ which is less than $OA,$ so a line through $A$ can achieve it.

The maximum area is $\begin{aligned} [BKL] &= \frac{13}{2} \cdot \frac{4}{4 + \sqrt{13}} \\ &= \frac{26}{4 + \sqrt{13}} = \frac{26(4 - \sqrt{13})}{3} \\ &= \frac{104 - 26\sqrt{13}}{3}, \end{aligned}$ so $a + b + c + d$ $= 104 + 26 + 13 + 3$ $= 146.$

2013 AIME II 第 10 题

答案：146

难度评级：2840

解答：

其他年份的第 10 题