2010 AIME I 第 5 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

5.

正整数

a

、

b

、

c

、

d

满足

a \gt b \gt c \gt d

，

a + b + c + d = 2010

，且

a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010

。求

a

可能取值的个数。

Positive integers

a,

b,

c,

and

d

satisfy

a \gt b \gt c \gt d,

a + b + c + d = 2010,

and

a^2 - b^2 + c^2 - d^2 = 2010.

Find the number of possible values of

a.

答案

答案：501

知识点：平方差极限情形界定区间内整数计数

难度评级：2230

小提示：

因式分解：

a^2 - b^2 + c^2 - d^2

= (a-b)(a+b)

+ (c-d)(c+d)

\ge (a+b) + (c+d)

Factor:

a^2 - b^2 + c^2 - d^2

= (a-b)(a+b)

+ (c-d)(c+d)

\ge (a+b) + (c+d)

大提示：

等号迫使

a - b = c - d = 1

，所以

a + c = 1006

；再找出

a

在

b \gt c

和

d \ge 1

条件下的范围

Equality forces

a - b = c - d = 1,

so

a + c = 1006;

then find the range of

a

allowed by

b \gt c

and

d \ge 1

解答：

因式分解得

\begin{gathered} a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \\ = (a-b)(a+b) \\ {}+ (c-d)(c+d) \\ \ge (a+b) + (c+d) = 2010 \end{gathered}\text{，}

因为

a - b \ge 1

且

c - d \ge 1

。等号成立，所以

a - b = c - d = 1

，即

b = a - 1

、

d = c - 1

。于是

2010 = a + (a-1) + c + (c-1)

，得到

a + c = 1006

。

条件

b \gt c

表示

a - 1 \gt c = 1006 - a

，所以

a \ge 504

；条件

d \ge 1

表示

c \ge 2

，所以

a \le 1004

。这个范围内每个

a

都可行，只需取

(a, b, c, d)

= (a,\, a-1,\,

1006-a,\, 1005-a)

。

个数为

1004 - 504 + 1 = 501

。

Factoring,

\begin{gathered} a^2 - b^2 + c^2 - d^2 \\ = (a-b)(a+b) \\ {}+ (c-d)(c+d) \\ \ge (a+b) + (c+d) = 2010, \end{gathered}

since

a - b \ge 1

and

c - d \ge 1.

Equality holds, so

a - b = c - d = 1,

that is,

b = a - 1

and

d = c - 1.

Then

2010 = a + (a-1) + c + (c-1)

gives

a + c = 1006.

The condition

b \gt c

means

a - 1 \gt c = 1006 - a,

so

a \ge 504,

and

d \ge 1

means

c \ge 2,

so

a \le 1004.

Every

a

in this range works, via

(a, b, c, d)

= (a,\, a-1,\,

1006-a,\, 1005-a).

The count is

1004 - 504 + 1 = 501.