Question

设 $\mathcal{R}$ 是坐标平面中同时满足 $|8 - x| + y \le 10$ 和 $3y - x \ge 15$ 的点组成的区域。当 $\mathcal{R}$ 绕直线 $3y - x = 15$ 旋转时，所得立体的体积为 $\frac{m\pi}{n\sqrt{p}}$ ，其中 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 是正整数， $m$ 和 $n$ 互质，且 $p$ 不被任何质数的平方整除。求 $m + n + p$ 。

Let $\mathcal{R}$ be the region consisting of the set of points in the coordinate plane that satisfy both $|8 - x| + y \le 10$ and $3y - x \ge 15.$ When $\mathcal{R}$ is revolved around the line whose equation is $3y - x = 15,$ the volume of the resulting solid is $\frac{m\pi}{n\sqrt{p}},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, $m$ and $n$ are relatively prime, and $p$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n + p.$

答案

答案：365

知识点：体积圆锥坐标几何

难度评级：2920

解答：

条件 $|8 - x| + y \le 10$ 表示当 $x \le 8$ 时 $y \le x + 2$ ，当 $x \ge 8$ 时 $y \le 18 - x$ 。与半平面 $3y - x \ge 15$ 相交后，留下一个三角形，其在直线 $3y - x = 15$ 上的两个顶点为 $A = \left(\frac{9}{2}, \frac{13}{2}\right)$ 和 $B = \left(\frac{39}{4}, \frac{33}{4}\right)$ ，另一个顶点为 $C = (8, 10)$ 。

边 $AB$ 位于旋转轴上，从 $C$ 向该直线作垂线的垂足 $D$ ，即 $(8.7, 7.9)$ ，位于 $A$ 与 $B$ 之间。所以该立体是两个共用底面的圆锥，底面半径为 $CD$ ，高之和为 $AB$ ，体积为 $\frac{1}{3}\pi \cdot CD^2 \cdot AB$ 。这里 $\begin{aligned} CD &= \frac{|3 \cdot 10 - 8 - 15|}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}, \\ AB &= \sqrt{\left(\tfrac{21}{4}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{4}\right)^2} \\ &= \frac{7\sqrt{10}}{4}. \end{aligned}$

体积为 $\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{49}{10} \cdot \frac{7\sqrt{10}}{4} = \frac{343\pi}{12\sqrt{10}}$ ，所以 $m + n + p = 343 + 12 + 10$ $= 365$ 。

The condition $|8 - x| + y \le 10$ means $y \le x + 2$ for $x \le 8$ and $y \le 18 - x$ for $x \ge 8.$ Intersecting with the half-plane $3y - x \ge 15$ leaves the triangle with vertices $A = \left(\frac{9}{2}, \frac{13}{2}\right)$ and $B = \left(\frac{39}{4}, \frac{33}{4}\right)$ on the line $3y - x = 15,$ and apex $C = (8, 10).$

Side $AB$ lies on the axis of revolution, and the foot $D$ of the perpendicular from $C$ to the line, namely $(8.7, 7.9),$ lies between $A$ and $B.$ So the solid is two cones sharing a base of radius $CD$ with heights summing to $AB,$ and its volume is $\frac{1}{3}\pi \cdot CD^2 \cdot AB.$ Here $\begin{aligned} CD &= \frac{|3 \cdot 10 - 8 - 15|}{\sqrt{10}} = \frac{7}{\sqrt{10}}, \\ AB &= \sqrt{\left(\tfrac{21}{4}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{4}\right)^2} \\ &= \frac{7\sqrt{10}}{4}. \end{aligned}$

The volume is $\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{49}{10} \cdot \frac{7\sqrt{10}}{4} = \frac{343\pi}{12\sqrt{10}},$ so $m + n + p = 343 + 12 + 10$ $= 365.$

2010 AIME I 第 11 题

答案：365

难度评级：2920

解答：

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