Question

设 $N$ 为将 $2010$ 写成如下形式的方法数：其中 $a_i$ 都是整数，且 $0 \le a_i \le 99$ 。这样一种表示的例子是 $1 \cdot 10^3$ $+ 3 \cdot 10^2$ $+ 67 \cdot 10^1$ $+ 40 \cdot 10^0$ 。求 $N$ 。 $\begin{aligned} 2010 &= a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 10 + a_0, \end{aligned}$

Let $N$ be the number of ways to write $2010$ in the form $\begin{aligned} 2010 &= a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 10 + a_0, \end{aligned}$ where the $a_i$ 's are integers, and $0 \le a_i \le 99.$ An example of such a representation is $1 \cdot 10^3$ $+ 3 \cdot 10^2$ $+ 67 \cdot 10^1$ $+ 40 \cdot 10^0.$ Find $N.$

答案

答案：202

知识点：进制数字双射

难度评级：2840

解答：

将每个系数写成 $a_i = 10b_i + c_i$ ，其中数字 $b_i, c_i \in \{0, 1, \ldots, 9\}$ ；每个整数 $0 \le a_i \le 99$ 都能唯一这样拆分。令 $m = b_3 b_2 b_1 b_0$ 、 $n = c_3 c_2 c_1 c_0$ （按 $10$ 进制数读取），条件变为 $2010 = 10m + n.$

反过来，任何满足 $10m + n = 2010$ 的非负整数 $m, n$ 都有 $m \le 201$ 且 $n \le 2010$ ，所以二者至多四位；这些数字可恢复 $b_i$ 和 $c_i$ ，从而恢复 $a_i$ 。因此表示方法与 $m \in \{0, 1, \ldots, 201\}$ 的选择一一对应，其中 $n = 2010 - 10m$ ，所以 $N = 202$ 。

Write each coefficient as $a_i = 10b_i + c_i$ with digits $b_i, c_i \in \{0, 1, \ldots, 9\};$ every integer $0 \le a_i \le 99$ splits this way uniquely. Setting $m = b_3 b_2 b_1 b_0$ and $n = c_3 c_2 c_1 c_0$ (read as base- $10$ numbers), the condition becomes $2010 = 10m + n.$

Conversely, any nonnegative integers $m, n$ with $10m + n = 2010$ satisfy $m \le 201$ and $n \le 2010,$ so each has at most four digits; those digits recover the $b_i$ and $c_i,$ hence the $a_i.$ So representations correspond exactly to choices of $m \in \{0, 1, \ldots, 201\}$ with $n = 2010 - 10m,$ and $N = 202.$

2010 AIME I 第 10 题

答案：202

难度评级：2840

解答：

其他年份的第 10 题