Question

令 $a = \pi/2008$ 。求最小的正整数 $n$ ，使得 $\begin{aligned} &2[\cos(a)\sin(a) + \cos(4a)\sin(2a) \\ &\quad {}+ \cos(9a)\sin(3a) \\ &\quad {}+ \cdots + \cos(n^2 a)\sin(na)] \end{aligned}$ 是整数。

Let $a = \pi/2008.$ Find the smallest positive integer $n$ such that $\begin{aligned} &2[\cos(a)\sin(a) + \cos(4a)\sin(2a) \\ &\quad {}+ \cos(9a)\sin(3a) \\ &\quad {}+ \cdots + \cos(n^2 a)\sin(na)] \end{aligned}$ is an integer.

答案

答案：251

知识点：三角恒等式裂项相消整除性

难度评级：2740

解答：

由积化和差公式， $\begin{aligned} &2\cos(k^2 a)\sin(ka) \\ &= \sin(k^2 a + ka) \\ &\quad {}- \sin(k^2 a - ka) \\ &= \sin(k(k+1)a) \\ &\quad {}- \sin((k-1)k a). \end{aligned}$ 对 $k = 1$ 到 $n$ 求和后，各项望远镜相消，只剩 $\sin(n(n+1)a) = \sin\frac{n(n+1)\pi}{2008}.$

正弦值为整数只可能是 $-1$ ， $0$ ，或 $1$ ，也就是它的角必须是 $\frac{\pi}{2}$ 的倍数。因此需要 $\frac{n(n+1)}{2008}$ 是 $\frac{1}{2}$ 的倍数，即 $1004 \mid n(n+1)$ ，其中 $1004 = 4 \cdot 251$ ，且 $251$ 是质数。

由于 $n$ 与 $n + 1$ 互质， $251$ 必须整除其中一个，所以 $n \ge 250$ 。当 $n = 250$ 时，乘积 $250 \cdot 251$ 不能被 $4$ 整除。当 $n = 251$ 时，乘积 $251 \cdot 252$ 能被 $4 \cdot 251 = 1004$ 整除。最小这样的 $n$ 是 $251$ 。

By the product-to-sum identity, $\begin{aligned} &2\cos(k^2 a)\sin(ka) \\ &= \sin(k^2 a + ka) \\ &\quad {}- \sin(k^2 a - ka) \\ &= \sin(k(k+1)a) \\ &\quad {}- \sin((k-1)k a). \end{aligned}$ Summing over $k = 1$ to $n,$ the terms telescope, leaving $\sin(n(n+1)a) = \sin\frac{n(n+1)\pi}{2008}.$

A sine is an integer only when it is $-1,$ $0,$ or $1,$ that is, when its argument is a multiple of $\frac{\pi}{2}.$ So we need $\frac{n(n+1)}{2008}$ to be a multiple of $\frac{1}{2},$ i.e. $1004 \mid n(n+1),$ where $1004 = 4 \cdot 251$ and $251$ is prime.

Since $n$ and $n + 1$ are coprime, $251$ must divide one of them, so $n \ge 250.$ For $n = 250$ the product $250 \cdot 251$ is not divisible by $4.$ For $n = 251$ the product $251 \cdot 252$ is divisible by $4 \cdot 251 = 1004.$ The smallest such $n$ is $251.$

2008 AIME II 第 8 题

答案：251

难度评级：2740

解答：

其他年份的第 8 题