Question

在梯形 $ABCD$ 中， $\overline{BC} \parallel \overline{AD}$ ，且 $BC = 1000$ ， $AD = 2008$ 。已知 $\angle A = 37^\circ$ ， $\angle D = 53^\circ$ ，并且 $M$ 和 $N$ 分别是 $\overline{BC}$ 和 $\overline{AD}$ 的中点。求 $MN$ 的长度。

In trapezoid $ABCD$ with $\overline{BC} \parallel \overline{AD},$ let $BC = 1000$ and $AD = 2008.$ Let $\angle A = 37^\circ,$ $\angle D = 53^\circ,$ and $M$ and $N$ be the midpoints of $\overline{BC}$ and $\overline{AD},$ respectively. Find the length $MN.$

答案

答案：504

知识点：梯形直角三角形中线（几何）位似

难度评级：2480

解答：

延长 $\overline{AB}$ 和 $\overline{DC}$ ，使它们交于点 $E$ 。由于 $\angle A + \angle D = 37^\circ + 53^\circ = 90^\circ$ ，三角形 $EAD$ 在 $E$ 处为直角。又因为 $\overline{BC} \parallel \overline{AD}$ ，三角形 $EBC$ 是三角形 $EAD$ 在以 $E$ 为中心的位似变换下的像，所以 $\overline{BC}$ 的中点 $M$ 对应于 $\overline{AD}$ 的中点 $N$ ；特别地， $E$ 、 $M$ 、 $N$ 共线。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以 $EN = \frac{2008}{2} = 1004$ ，且 $EM = \frac{1000}{2} = 500$ 。因此 $\begin{aligned} MN &= EN - EM \\ &= 1004 - 500 = 504. \end{aligned}$

Extend legs $\overline{AB}$ and $\overline{DC}$ until they meet at a point $E.$ Since $\angle A + \angle D = 37^\circ + 53^\circ = 90^\circ,$ triangle $EAD$ has a right angle at $E.$ Because $\overline{BC} \parallel \overline{AD},$ triangle $EBC$ is the image of triangle $EAD$ under a homothety centered at $E,$ so the midpoint $M$ of $\overline{BC}$ maps to the midpoint $N$ of $\overline{AD};$ in particular $E,$ $M,$ and $N$ are collinear.

The median to the hypotenuse of a right triangle is half the hypotenuse, so $EN = \frac{2008}{2} = 1004$ and $EM = \frac{1000}{2} = 500.$ Therefore $\begin{aligned} MN &= EN - EM \\ &= 1004 - 500 = 504. \end{aligned}$

2008 AIME II 第 5 题

答案：504

难度评级：2480

解答：

其他年份的第 5 题