Question

设 $\overline{AB}$ 是圆 $\omega$ 的一条直径。将 $\overline{AB}$ 经过 $A$ 延长到 $C$ 。点 $T$ 在 $\omega$ 上，使得直线 $CT$ 与 $\omega$ 相切。点 $P$ 是从 $A$ 到直线 $CT$ 的垂足。已知 $AB = 18$ ，令 $m$ 表示线段 $BP$ 的最大可能长度。求 $m^2$ 。

Let $\overline{AB}$ be a diameter of circle $\omega.$ Extend $\overline{AB}$ through $A$ to $C.$ Point $T$ lies on $\omega$ so that line $CT$ is tangent to $\omega.$ Point $P$ is the foot of the perpendicular from $A$ to line $CT.$ Suppose $AB = 18,$ and let $m$ denote the maximum possible length of segment $BP.$ Find $m^2.$

答案

答案：432

知识点：坐标几何切线二次方程最优化

难度评级：3270

解答：

将圆心 $O$ 放在原点，半径为 $9$ ，则 $A = (-9, 0)$ ， $B = (9, 0)$ 。若切点为 $T = (9\cos t, 9\sin t)$ ，切线为 $x\cos t + y\sin t = 9$ ；它与 $x$ 轴交于 $C = (9/\cos t, 0)$ ，而该交点位于 $A$ 的外侧当且仅当 $-1 \lt \cos t \lt 0$ 。记 $u = \cos t$ ，从 $A$ 到该直线的有向距离为 $-9u - 9$ ，所以垂足为 $P = A + 9(1 + u)(\cos t, \sin t)$ 。

于是 $P - B$ $=$ $\bigl(9(u^2 + u - 2),\ 9(1 + u)\sin t\bigr)$ 。利用 $\sin^2 t = 1 - u^2$ 可得 $\begin{aligned} \frac{BP^2}{81} &= (u^2 + u - 2)^2 \\ &\quad {}+ (1 + u)^2(1 - u^2) \\ &= 5 - 2u - 3u^2. \end{aligned}$ 这个关于 $u$ 的二次式在 $u = -\frac{1}{3}$ 处取最大值，该值在 $(-1, 0)$ 内（此时 $C = (-27, 0)$ ），给出 $\frac{BP^2}{81} = 5 + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{16}{3}$ 。

因此 $m^2 = 81 \cdot \frac{16}{3} = 432$ 。

Place the center $O$ at the origin with radius $9,$ so $A = (-9, 0)$ and $B = (9, 0).$ If the point of tangency is $T = (9\cos t, 9\sin t),$ the tangent line is $x\cos t + y\sin t = 9;$ it meets the $x$ -axis at $C = (9/\cos t, 0),$ which lies beyond $A$ exactly when $-1 \lt \cos t \lt 0.$ Writing $u = \cos t,$ the signed distance from $A$ to the line is $-9u - 9,$ so the foot of the perpendicular is $P = A + 9(1 + u)(\cos t, \sin t).$

Then $P - B$ $=$ $\bigl(9(u^2 + u - 2),\ 9(1 + u)\sin t\bigr),$ and using $\sin^2 t = 1 - u^2:$ $\begin{aligned} \frac{BP^2}{81} &= (u^2 + u - 2)^2 \\ &\quad {}+ (1 + u)^2(1 - u^2) \\ &= 5 - 2u - 3u^2. \end{aligned}$ This quadratic in $u$ is maximized at $u = -\frac{1}{3},$ which is inside $(-1, 0)$ (there $C = (-27, 0)$ ), giving $\frac{BP^2}{81} = 5 + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{16}{3}.$

Therefore $m^2 = 81 \cdot \frac{16}{3} = 432.$

2008 AIME I 第 14 题

答案：432

难度评级：3270

解答：

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