2003 AIME I 第 5 题

Question

考虑所有位于一个长、宽、高分别为

3

、

4

、

5

个单位的长方体（盒子）内部，或与它的距离不超过一个单位的点。已知这些点所组成的集合体积为

\frac{m + n\pi}{p}

，其中

m

、

n

和

p

是正整数，且

n

与

p

互质。求

m + n + p

。

Consider the set of points that are inside or within one unit of a rectangular parallelepiped (box) that measures

3

by

4

by

5

units. Given that the volume of this set is

\frac{m + n\pi}{p},

where

m,

n,

and

p

are positive integers, and

n

and

p

are relatively prime, find

m + n + p.

答案

答案：505

知识点：体积长方体圆柱球

难度评级：2210

小提示：

这个区域由长方体本身、每个面外侧的薄层、每条棱上的四分之一圆柱，以及每个顶点处的球八分体组成。

The region is the box plus slabs over each face, quarter-cylinders along each edge, and sphere octants at each corner

大提示：

十二个四分之一圆柱合成三个完整圆柱，高分别为

3

、

4

、

5

；八个球八分体合成一个单位球。

The twelve quarter-cylinders form three full cylinders with heights

3,

4,

5,

and the eight octants form one unit sphere

解答：

该区域由长方体本身、从六个面向外伸出的厚度为

1

的薄层、沿十二条棱的半径为

1

的四分之一圆柱，以及八个顶点处半径为

1

的球八分体组成。长方体体积为

3 \cdot 4 \cdot 5 = 60

，各薄层总计

2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5) = 94

。

与每个维度平行的四条棱上的四分之一圆柱合并成一个完整圆柱，所以这些圆柱总体积为

\pi \cdot 1^2 (3 + 4 + 5) = 12\pi

。八个球八分体合并成一个单位球，体积为

\frac{4\pi}{3}

。

总体积为

\begin{aligned} &60 + 94 + 12\pi \\ &\quad {}+ \frac{4\pi}{3} = 154 + \frac{40\pi}{3} \\ &= \frac{462 + 40\pi}{3} \end{aligned}

因此

m + n + p

= 462 + 40 + 3

= 505

。

The region consists of the box itself, six slabs of thickness

1

projecting outward from the faces, quarter-cylinders of radius

1

along the twelve edges, and eighth-spheres of radius

1

at the eight corners. The box has volume

3 \cdot 4 \cdot 5 = 60,

and the slabs total

2(3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 5) = 94.

The four quarter-cylinders along edges parallel to each dimension combine into a full cylinder, so the cylinders total

\pi \cdot 1^2 (3 + 4 + 5) = 12\pi.

The eight octants combine into one unit sphere of volume

\frac{4\pi}{3}.

The total volume is

\begin{aligned} &60 + 94 + 12\pi \\ &\quad {}+ \frac{4\pi}{3} = 154 + \frac{40\pi}{3} \\ &= \frac{462 + 40\pi}{3}, \end{aligned}

so

m + n + p

= 462 + 40 + 3

= 505.

2003 AIME I 第 5 题

答案：505

难度评级：2210

小提示：

大提示：

解答：

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