Question

一位心不在焉的教授在求某个角的正弦值时，没有注意到计算器没有设成正确的角度模式。他很幸运地得到了正确答案。使得 $x$ 度的正弦等于 $x$ 弧度的正弦的两个最小正实数 $x$ 分别为 $\frac{m\pi}{n - \pi}$ 和 $\frac{p\pi}{q + \pi}$ ，其中 $m$ 、 $n$ 、 $p$ 、 $q$ 是正整数。求 $m + n + p + q.$

While finding the sine of a certain angle, an absent-minded professor failed to notice that his calculator was not in the correct angular mode. He was lucky to get the right answer. The two least positive real values of $x$ for which the sine of $x$ degrees is the same as the sine of $x$ radians are $\frac{m\pi}{n - \pi}$ and $\frac{p\pi}{q + \pi},$ where $m,$ $n,$ $p,$ and $q$ are positive integers. Find $m + n + p + q.$

答案

答案：900

知识点：三角学单位换算

难度评级：2760

解答：

$x$ 度对应 $\frac{\pi x}{180}$ 弧度，所以需要 $\sin \frac{\pi x}{180} = \sin x$ 。两个角正弦相等当且仅当它们相差 $2\pi$ 的整数倍，或者和为 $\pi$ 加上 $2\pi$ 的整数倍。

第一种情形给出 $x - \frac{\pi x}{180} = 2\pi j$ ，所以 $x = \frac{360 j \pi}{180 - \pi}$ 最小正值为 $\frac{360\pi}{180 - \pi} \approx 6.4$ 。第二种情形给出 $x + \frac{\pi x}{180} = (2k + 1)\pi$ ，所以 $x = \frac{180(2k+1)\pi}{180 + \pi}$ 最小正值为 $\frac{180\pi}{180 + \pi} \approx 3.1$ 。这两个就是最小的两个解。

对应 $\frac{m\pi}{n - \pi}$ 与 $\frac{p\pi}{q + \pi}$ ，得到 $m = 360$ 、 $n = 180$ 、 $p = 180$ 、 $q = 180$ ，所以 $m + n + p + q = 900$ 。

An angle of $x$ degrees is $\frac{\pi x}{180}$ radians, so we need $\sin \frac{\pi x}{180} = \sin x.$ Two angles have equal sines exactly when they differ by a multiple of $2\pi$ or sum to $\pi$ plus a multiple of $2\pi.$

The first case gives $x - \frac{\pi x}{180} = 2\pi j,$ so $x = \frac{360 j \pi}{180 - \pi},$ with least positive value $\frac{360\pi}{180 - \pi} \approx 6.4.$ The second gives $x + \frac{\pi x}{180} = (2k + 1)\pi,$ so $x = \frac{180(2k+1)\pi}{180 + \pi},$ with least positive value $\frac{180\pi}{180 + \pi} \approx 3.1.$ These are the two smallest solutions.

Matching $\frac{m\pi}{n - \pi}$ and $\frac{p\pi}{q + \pi}$ gives $m = 360,$ $n = 180,$ $p = 180,$ $q = 180,$ so $m + n + p + q = 900.$

2002 AIME II 第 10 题

答案：900

难度评级：2760

解答：

其他年份的第 10 题