Question

一个圆内切于四边形 $ABCD$ ，分别与 $\overline{AB}$ 切于 $P$ 与 $\overline{CD}$ 切于 $Q$ 。已知 $AP = 19$ 、 $PB = 26$ 、 $CQ = 37$ 、 $QD = 23$ 。求该圆半径的平方。

A circle is inscribed in quadrilateral $ABCD,$ tangent to $\overline{AB}$ at $P$ and to $\overline{CD}$ at $Q.$ Given that $AP = 19,$ $PB = 26,$ $CQ = 37,$ and $QD = 23,$ find the square of the radius of the circle.

答案

答案：647

知识点：内切圆、内心与内切圆半径三角恒等式角平分线

难度评级：2990

解答：

设内切圆圆心为 $I$ 半径为 $r$ 从 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 引出的切线长分别为 $19$ 、 $26$ 、 $37$ 、 $23$ ，且 $I$ 在每个角的角平分线上。因此四个顶点的半角 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ 满足 $\tan\alpha = \frac{r}{19}$ 、 $\tan\beta = \frac{r}{26}$ 、 $\tan\gamma = \frac{r}{37}$ 、 $\tan\delta = \frac{r}{23}$ ，并且 $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ$ 。

于是 $\tan(\alpha + \gamma) = -\tan(\beta + \delta)$ 。用正切加法公式得到即 $\begin{aligned} &\frac{\frac{r}{19} + \frac{r}{37}}{1 - \frac{r^2}{19 \cdot 37}} \\ &= -\frac{\frac{r}{26} + \frac{r}{23}}{1 - \frac{r^2}{26 \cdot 23}}, \end{aligned}$ $\frac{56r}{703 - r^2} = \frac{49r}{r^2 - 598}.$

交叉相乘得 $56r^2 - 56 \cdot 598$ $= 49 \cdot 703 - 49r^2$ ，所以 $105r^2 = 33488 + 34447 = 67935$ ，从而 $r^2 = 647$ 。

Let the incircle have center $I$ and radius $r.$ The tangent lengths from $A,$ $B,$ $C,$ $D$ are $19,$ $26,$ $37,$ $23,$ and $I$ lies on each angle bisector, so the half-angles $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ at the four vertices satisfy $\tan\alpha = \frac{r}{19},$ $\tan\beta = \frac{r}{26},$ $\tan\gamma = \frac{r}{37},$ $\tan\delta = \frac{r}{23},$ with $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ.$

Then $\tan(\alpha + \gamma) = -\tan(\beta + \delta),$ and the tangent addition formula turns this into $\begin{aligned} &\frac{\frac{r}{19} + \frac{r}{37}}{1 - \frac{r^2}{19 \cdot 37}} \\ &= -\frac{\frac{r}{26} + \frac{r}{23}}{1 - \frac{r^2}{26 \cdot 23}}, \end{aligned}$ i.e. $\frac{56r}{703 - r^2} = \frac{49r}{r^2 - 598}.$

Cross-multiplying gives $56r^2 - 56 \cdot 598$ $= 49 \cdot 703 - 49r^2,$ so $105r^2 = 33488 + 34447 = 67935$ and $r^2 = 647.$

2000 AIME II 第 10 题

答案：647

难度评级：2990

解答：

其他年份的第 10 题