Question

设 $u$ 和 $v$ 是满足 $0 \lt v \lt u$ 的整数。令 $A = (u, v)$ ，令 $B$ 为 $A$ 关于直线 $y = x$ 的反射，令 $C$ 为 $B$ 关于 $y$ -轴的反射，令 $D$ 为 $C$ 关于 $x$ -轴的反射，令 $E$ 为 $D$ 关于 $y$ -轴的反射。五边形 $ABCDE$ 的面积为 $451$ 。求 $u + v$ 。

Let $u$ and $v$ be integers satisfying $0 \lt v \lt u.$ Let $A = (u, v),$ let $B$ be the reflection of $A$ across the line $y = x,$ let $C$ be the reflection of $B$ across the $y$ -axis, let $D$ be the reflection of $C$ across the $x$ -axis, and let $E$ be the reflection of $D$ across the $y$ -axis. The area of pentagon $ABCDE$ is $451.$ Find $u + v.$

答案

答案：21

知识点：变换坐标几何面积分割因式分解

难度评级：2300

解答：

依次反射得到 $B = (v, u)$ 、 $C = (-v, u)$ 、 $D = (-v, -u)$ 、 $E = (v, -u)$ 点 $B, C, D, E$ 形成宽 $2v$ 、高 $2u$ 的长方形，面积为 $4uv$ 。点 $A = (u, v)$ 向右突出，三角形 $ABE$ 的竖直底边 $BE$ 长为 $2u$ ，水平高为 $u - v$ 面积为 $u(u - v)$ 。

五边形面积为 $\begin{aligned} 4uv + u(u - v) &= u^2 + 3uv \\ &= u(u + 3v) \\ &= 451 = 11 \cdot 41. \end{aligned}$ 因为 $0 \lt v \lt u$ 有 $u \lt u + 3v \lt 4u$ ，排除 $1 \cdot 451$ 。因此 $u = 11$ 、 $u + 3v = 41$ ，得 $v = 10$ ， $v \lt u$ 。

所以 $u + v = 11 + 10 = 21$ 。

Carrying out the reflections, $B = (v, u),$ $C = (-v, u),$ $D = (-v, -u),$ and $E = (v, -u).$ The points $B, C, D, E$ form a rectangle of width $2v$ and height $2u,$ with area $4uv,$ and $A = (u, v)$ sticks out to its right. Triangle $ABE$ has vertical base $BE$ of length $2u$ and horizontal height $u - v,$ so its area is $u(u - v).$

The pentagon's area is therefore $\begin{aligned} 4uv + u(u - v) &= u^2 + 3uv \\ &= u(u + 3v) \\ &= 451 = 11 \cdot 41. \end{aligned}$ Since $0 \lt v \lt u,$ we have $u \lt u + 3v \lt 4u,$ which rules out the factorization $1 \cdot 451.$ So $u = 11$ and $u + 3v = 41,$ giving $v = 10,$ which indeed satisfies $v \lt u.$

Thus $u + v = 11 + 10 = 21.$

2000 AIME I 第 2 题

答案：21

难度评级：2300

解答：

其他年份的第 2 题