Question

三角形 $ABC$ 的内切圆与 $\overline{AB}$ 相切于 $P$ ，且半径为 $21$ 。已知 $AP = 23$ 且 $PB = 27$ ，求该三角形的周长。

The inscribed circle of triangle $ABC$ is tangent to $\overline{AB}$ at $P,$ and its radius is $21.$ Given that $AP = 23$ and $PB = 27,$ find the perimeter of the triangle.

答案

答案：345

知识点：内切圆、内心与内切圆半径海伦公式三角形面积

难度评级：2390

解答：

从同一点引出的两条切线段相等，所以从 $A$ ， $B$ ， $C$ 出发的切线长分别为 $23$ ， $27$ ，和某个 $z$ 。因而三边为 $50$ ， $23 + z$ ， $27 + z$ ，半周长为 $s = 50 + z$ ，由海伦公式可得面积为 $\sqrt{(50 + z) \cdot z \cdot 23 \cdot 27}$ 。

面积也等于 $rs = 21(50 + z)$ 。将 $21(50 + z) = \sqrt{621 z (50 + z)}$ 两边平方并除以 $50 + z$ 得 $441(50 + z) = 621 z$ ，所以 $180 z = 22050$ 且 $z = \frac{245}{2}$ 。

周长为 $2s = 2\left(50 + \frac{245}{2}\right) = 345$ 。

Tangent segments from a point are equal, so the tangent lengths from $A,$ $B,$ $C$ are $23,$ $27,$ and some $z.$ Then the sides are $50,$ $23 + z,$ $27 + z,$ the semiperimeter is $s = 50 + z,$ and Heron's formula gives area $\sqrt{(50 + z) \cdot z \cdot 23 \cdot 27}.$

The area also equals $rs = 21(50 + z).$ Squaring $21(50 + z) = \sqrt{621 z (50 + z)}$ and dividing by $50 + z$ gives $441(50 + z) = 621 z,$ so $180 z = 22050$ and $z = \frac{245}{2}.$

The perimeter is $2s = 2\left(50 + \frac{245}{2}\right) = 345.$

1999 AIME 第 12 题

答案：345

难度评级：2390

解答：

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