2022 AIME II 第 10 题

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10.

求下式

\binom{\binom{3}{2}}{2} + \binom{\binom{4}{2}}{2} + \cdots + \binom{\binom{40}{2}}{2}

除以

1000

的余数。

Find the remainder when

\binom{\binom{3}{2}}{2} + \binom{\binom{4}{2}}{2} + \cdots + \binom{\binom{40}{2}}{2}

is divided by

1000.

答案

答案：4

知识点：组合求和杨辉三角

难度评级：2650

小提示：

展开：

\binom{\binom{n}{2}}{2}

等于

\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{8}

，这是关于

n

的多项式

Expand:

\binom{\binom{n}{2}}{2}

equals

\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{8},

a polynomial in

n

大提示：

这个表达式是

3\binom{n+1}{4}

；用曲棍球棒恒等式求和

That expression is

3\binom{n+1}{4};

sum it with the hockey stick identity

解答：

因为

\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}

，且

\binom{n}{2} - 1 = \frac{(n+1)(n-2)}{2}

，

\begin{aligned} \binom{\binom{n}{2}}{2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{2} \\ &\quad {}\cdot \frac{(n+1)(n-2)}{2} \\ &= \small \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{8} \\ &= 3\binom{n+1}{4} \end{aligned}\text{。}

由曲棍球棒恒等式，

\begin{aligned} \sum_{n=3}^{40} 3\binom{n+1}{4} &= 3\sum_{k=4}^{41}\binom{k}{4} \\ &= 3\binom{42}{5} \\ &= 3 \cdot 850668 \\ &= 2552004 \end{aligned}\text{。}

除以

1000

的余数为

4

。

Since

\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}

and

\binom{n}{2} - 1 = \frac{(n+1)(n-2)}{2},

\begin{aligned} \binom{\binom{n}{2}}{2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{2} \\ &\quad {}\cdot \frac{(n+1)(n-2)}{2} \\ &= \small \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{8} \\ &= 3\binom{n+1}{4}. \end{aligned}

By the hockey stick identity,

\begin{aligned} \sum_{n=3}^{40} 3\binom{n+1}{4} &= 3\sum_{k=4}^{41}\binom{k}{4} \\ &= 3\binom{42}{5} \\ &= 3 \cdot 850668 \\ &= 2552004. \end{aligned}

The remainder upon division by

1000

is

4.