Question

求除以 $1000$ 的余数。 $\binom{\binom{3}{2}}{2} + \binom{\binom{4}{2}}{2} + \cdots + \binom{\binom{40}{2}}{2}$

Find the remainder when $\binom{\binom{3}{2}}{2} + \binom{\binom{4}{2}}{2} + \cdots + \binom{\binom{40}{2}}{2}$ is divided by $1000.$

答案

答案：4

知识点：组合求和杨辉三角

难度评级：2650

解答：

因为 $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ ，且 $\binom{n}{2} - 1 = \frac{(n+1)(n-2)}{2}$ ， $\begin{aligned} \binom{\binom{n}{2}}{2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{2} \\ &\quad {}\cdot \frac{(n+1)(n-2)}{2} \\ &= \small \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{8} \\ &= 3\binom{n+1}{4}. \end{aligned}$

由曲棍球棒恒等式， $\begin{aligned} \sum_{n=3}^{40} 3\binom{n+1}{4} &= 3\sum_{k=4}^{41}\binom{k}{4} \\ &= 3\binom{42}{5} \\ &= 3 \cdot 850668 \\ &= 2552004. \end{aligned}$

除以 $1000$ 的余数为 $4$ 。

Since $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ and $\binom{n}{2} - 1 = \frac{(n+1)(n-2)}{2},$ $\begin{aligned} \binom{\binom{n}{2}}{2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{2} \\ &\quad {}\cdot \frac{(n+1)(n-2)}{2} \\ &= \small \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{8} \\ &= 3\binom{n+1}{4}. \end{aligned}$

By the hockey stick identity, $\begin{aligned} \sum_{n=3}^{40} 3\binom{n+1}{4} &= 3\sum_{k=4}^{41}\binom{k}{4} \\ &= 3\binom{42}{5} \\ &= 3 \cdot 850668 \\ &= 2552004. \end{aligned}$

The remainder upon division by $1000$ is $4.$

2022 AIME II 第 10 题

答案：4

难度评级：2650

解答：

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