Question

三角形 $ABC$ 的内切圆 $\omega$ 与 $\overline{BC}$ 相切于 $X$ 。设 $Y \neq X$ 为 $\overline{AX}$ 与 $\omega$ 的另一个交点。点 $P$ 与 $Q$ 分别位于 $\overline{AB}$ 与 $\overline{AC}$ 上，使得 $\overline{PQ}$ 在 $Y$ 处与 $\omega$ 相切。已知 $AP = 3$ 、 $PB = 4$ 、 $AC = 8$ ，且 $AQ = \frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 与 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

The incircle $\omega$ of triangle $ABC$ is tangent to $\overline{BC}$ at $X.$ Let $Y \neq X$ be the other intersection of $\overline{AX}$ with $\omega.$ Points $P$ and $Q$ lie on $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively, so that $\overline{PQ}$ is tangent to $\omega$ at $Y.$ Assume that $AP = 3,$ $PB = 4,$ $AC = 8,$ and $AQ = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：227

知识点：内切圆、内心与内切圆半径切线正弦定理导角

难度评级：3500

解答：

设 $\omega$ 与 $\overline{AB}$ 相切于 $Z$ 与 $\overline{AC}$ 相切于 $W$ ，并设 $\alpha = \angle BAX$ 、 $\beta = \angle AXC$ 。切线 $PQ$ 与弦 $XY$ 所成的角等于切线 $BC$ 与弦 $XY$ 所成的角，所以 $\angle QYX = \angle YXC = \beta$ ，再由对顶角得 $\angle AYP = \beta$ 。在三角形 $APY$ 中用正弦定理得 $PY = AP\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$ ，又由切线长相等 $PZ = PY$ ，所以 $\frac{AZ}{AP} = 1 + \frac{PY}{AP} = 1 + \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$ 。在三角形 $ABX$ 中，由于 $\angle AXB = 180^\circ - \beta$ ，同理 $BX = AB\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$ ，且 $BZ = BX$ ，于是 $\frac{AZ}{AB} = 1 - \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$ 。

将两个关系相加，得 $\frac{AZ}{AP} + \frac{AZ}{AB} = 2$ ，由于 $AP = 3$ 、 $AB = 7$ ，得到 $AZ\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{7}\right) = 2$ ，因此 $AZ = \frac{21}{5}$ 。在边 $AC$ 上作同样论证（使用三角形 $AQY$ 与 $ACX$ 中的 $\angle XAC$ ），得 $\frac{AW}{AQ} + \frac{AW}{AC} = 2$ ，并且由从 $A$ 。引切线长相等， $AW = AZ = \frac{21}{5}$ 。因此 $\frac{1}{AQ} = \frac{10}{21} - \frac{1}{8} = \frac{59}{168},$ 所以 $AQ = \frac{168}{59}$ ， $m + n = 168 + 59 = 227$ 。

Let $\omega$ touch $\overline{AB}$ at $Z$ and $\overline{AC}$ at $W,$ and set $\alpha = \angle BAX$ and $\beta = \angle AXC.$ The tangent-chord angle between $PQ$ and chord $XY$ equals the one between $BC$ and $XY,$ so $\angle QYX = \angle YXC = \beta,$ and vertical angles give $\angle AYP = \beta.$ In triangle $APY$ the law of sines gives $PY = AP\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},$ and by equal tangents $PZ = PY,$ so $\frac{AZ}{AP} = 1 + \frac{PY}{AP} = 1 + \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$ In triangle $ABX,$ since $\angle AXB = 180^\circ - \beta,$ similarly $BX = AB\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},$ and $BZ = BX$ gives $\frac{AZ}{AB} = 1 - \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$

Adding the two relations, $\frac{AZ}{AP} + \frac{AZ}{AB} = 2,$ so with $AP = 3$ and $AB = 7$ we get $AZ\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{7}\right) = 2,$ hence $AZ = \frac{21}{5}.$ The identical argument on side $AC$ (using $\angle XAC$ in triangles $AQY$ and $ACX$ ) gives $\frac{AW}{AQ} + \frac{AW}{AC} = 2,$ and $AW = AZ = \frac{21}{5}$ by equal tangents from $A.$ Therefore $\frac{1}{AQ} = \frac{10}{21} - \frac{1}{8} = \frac{59}{168},$ so $AQ = \frac{168}{59}$ and $m + n = 168 + 59 = 227.$

2018 AIME II 第 14 题

答案：227

难度评级：3500

解答：

其他年份的第 14 题