Question

设 $z$ 是满足 $|z| = 2014$ 的复数。令 $P$ 为复平面中的多边形，其顶点包括 $z$ 以及所有满足 $\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}$ 的 $w$ 。则 $P$ 所围成的面积可写成 $n\sqrt{3}$ ，其中 $n$ 是整数。求 $n$ 除以 $1000$ 的余数。

Let $z$ be a complex number with $|z| = 2014.$ Let $P$ be the polygon in the complex plane whose vertices are $z$ and every $w$ such that $\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}.$ Then the area enclosed by $P$ can be written in the form $n\sqrt{3},$ where $n$ is an integer. Find the remainder when $n$ is divided by $1000.$

答案

答案：147

知识点：复数单位根等边三角形

难度评级：2560

解答：

将 $\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}$ 两边同乘 $zw(z+w)$ ，得到 $zw = (z+w)^2$ ，即 $z^2 + zw + w^2 = 0$ 。再乘以 $z - w$ ，得到 $z^3 - w^3 = 0$ ，所以 $w = \omega z$ 或 $w = \omega^2 z$ ，其中 $\omega$ 是本原三次单位根（并且二者确实满足原方程）。

因此 $P$ 是顶点为 $z$ 、 $\omega z$ 、 $\omega^2 z$ 的等边三角形，内接于半径为 $2014$ 的圆。其面积为 $\frac{3\sqrt{3}}{4}\,(2014)^2 = 3 \cdot 1007^2 \sqrt{3},$ 所以 $n = 3 \cdot 1007^2 = 3042147$ 。

$n$ 除以 $1000$ 的余数为 $147$ 。

Multiplying $\frac{1}{z+w} = \frac{1}{z} + \frac{1}{w}$ by $zw(z+w)$ gives $zw = (z+w)^2,$ i.e. $z^2 + zw + w^2 = 0.$ Multiplying by $z - w$ yields $z^3 - w^3 = 0,$ so $w = \omega z$ or $w = \omega^2 z,$ where $\omega$ is a primitive cube root of unity (and both indeed satisfy the original equation).

Thus $P$ is the equilateral triangle with vertices $z,$ $\omega z,$ $\omega^2 z,$ inscribed in the circle of radius $2014.$ Its area is $\frac{3\sqrt{3}}{4}\,(2014)^2 = 3 \cdot 1007^2 \sqrt{3},$ so $n = 3 \cdot 1007^2 = 3042147.$

The remainder when $n$ is divided by $1000$ is $147.$

2014 AIME II 第 10 题

答案：147

难度评级：2560

解答：

其他年份的第 10 题