Question

设 $m$ 是方程 $\begin{aligned} &\frac{3}{x-3} + \frac{5}{x-5} \\ &\quad {}+ \frac{17}{x-17} + \frac{19}{x-19} \\ &= x^2 - 11x - 4. \end{aligned}$ 的最大实数解。存在正整数 $a$ 、 $b$ 和 $c$ ，使得 $m = a + \sqrt{b + \sqrt{c}}$ 。求 $a + b + c$ 。

Let $m$ be the largest real solution to the equation $\begin{aligned} &\frac{3}{x-3} + \frac{5}{x-5} \\ &\quad {}+ \frac{17}{x-17} + \frac{19}{x-19} \\ &= x^2 - 11x - 4. \end{aligned}$ There are positive integers $a,$ $b,$ and $c$ such that $m = a + \sqrt{b + \sqrt{c}}.$ Find $a + b + c.$

答案

答案：263

知识点：分式方程换元法对称性（代数）

难度评级：3060

解答：

两边都加上 $4$ ，把每个分式各配上一个一：因为 $\frac{k}{x-k} + 1 = \frac{x}{x-k}$ ，方程变为 $\begin{aligned} &\scriptsize x\left(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-5} + \frac{1}{x-17} + \frac{1}{x-19}\right) \\ &= x^2 - 11x = x(x - 11). \end{aligned}$ 除了 $x = 0$ 之外，可以除以 $x$ ，并令 $t = x - 11$ ，使这些分式成对对称： $\frac{2t}{t^2 - 64} + \frac{2t}{t^2 - 36} = t.$

除了 $t = 0$ 之外，除以 $t$ 得 $\frac{2}{t^2 - 64} + \frac{2}{t^2 - 36} = 1$ 。令 $u = t^2$ ，清除分母得到 $2(u - 36) + 2(u - 64)$ $= (u - 36)(u - 64)$ ，也就是 $u^2 - 104u + 2504 = 0$ ，所以 $u = 52 \pm \sqrt{200}$ 。

最大解为 $m = 11 + \sqrt{52 + \sqrt{200}} \approx 19.1$ ，它大于其他候选解 $0$ 、 $11$ ，以及 $11 \pm \sqrt{52 \pm \sqrt{200}}$ 。因此 $a + b + c$ $= 11 + 52 + 200 = 263$ 。

Add $4$ to both sides, giving one unit to each fraction: since $\frac{k}{x-k} + 1 = \frac{x}{x-k},$ the equation becomes $\begin{aligned} &\scriptsize x\left(\frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-5} + \frac{1}{x-17} + \frac{1}{x-19}\right) \\ &= x^2 - 11x = x(x - 11). \end{aligned}$ Besides $x = 0,$ we can divide by $x$ and substitute $t = x - 11,$ which pairs the fractions symmetrically: $\frac{2t}{t^2 - 64} + \frac{2t}{t^2 - 36} = t.$

Besides $t = 0,$ dividing by $t$ gives $\frac{2}{t^2 - 64} + \frac{2}{t^2 - 36} = 1.$ With $u = t^2,$ clearing denominators gives $2(u - 36) + 2(u - 64)$ $= (u - 36)(u - 64),$ i.e. $u^2 - 104u + 2504 = 0,$ so $u = 52 \pm \sqrt{200}.$

The largest solution is $m = 11 + \sqrt{52 + \sqrt{200}} \approx 19.1,$ which exceeds the other candidates $0,$ $11,$ and $11 \pm \sqrt{52 \pm \sqrt{200}}.$ Therefore $a + b + c$ $= 11 + 52 + 200 = 263.$

2014 AIME I 第 14 题

答案：263

难度评级：3060

解答：

其他年份的第 14 题