Question

存在非零整数 $a$ 、 $b$ 、 $r$ 、 $s$ ，使复数 $r + si$ 是多项式 $P(x) = x^3 - ax^2 + bx - 65$ 的一个零点。对每一种可能的 $a$ 与 $b$ 的组合，令 $p_{a,b}$ 为 $P(x)$ 的所有零点之和。求所有可能的 $a$ 、 $b$ 组合对应的 $p_{a,b}$ 之和。

There are nonzero integers $a,$ $b,$ $r,$ and $s$ such that the complex number $r + si$ is a zero of the polynomial $P(x) = x^3 - ax^2 + bx - 65.$ For each possible combination of $a$ and $b,$ let $p_{a,b}$ be the sum of the zeros of $P(x).$ Find the sum of the $p_{a,b}$ 's for all possible combinations of $a$ and $b.$

答案

答案：80

知识点：多项式复数韦达定理

难度评级：2710

解答：

因为 $P$ 的系数为实数， $r - si$ 也是一个零点，第三个零点 $q$ 为实数。零点之和为 $q + 2r = a,$ 所以 $q = a - 2r$ 是非零整数。零点之积为 $q(r^2 + s^2) = 65,$ 所以 $r^2 + s^2$ 是 $65.$ 的因数。由于 $r, s$ 都非零，可能情况为 $r^2 + s^2 = 5 = 1^2 + 2^2$ （此时 $q = 13$ ）、 $13 = 2^2 + 3^2$ （此时 $q = 5$ ），以及 $65 = 1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2$ （此时 $q = 1$ ）。

对于每一种表示 $\{u, v\},$ 零点 $r + si$ 可以有 $r = \pm u$ 或 $\pm v,$ 给出 $4$ 个不同多项式（ $s$ 的符号不影响多项式）。零点之和为 $p_{a,b} = q + 2r,$ 四种选择中的 $2r$ 项相互抵消，每种表示留下 $4q$ 。

总和为 $4 \cdot 13 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 80.$

Since $P$ has real coefficients, $r - si$ is also a zero, and the third zero $q$ is real. The sum of the zeros is $q + 2r = a,$ so $q = a - 2r$ is a nonzero integer. Their product is $q(r^2 + s^2) = 65,$ so $r^2 + s^2$ is a factor of $65.$ With $r, s$ nonzero, the possibilities are $r^2 + s^2 = 5 = 1^2 + 2^2$ (with $q = 13$ ), $13 = 2^2 + 3^2$ (with $q = 5$ ), and $65 = 1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2$ (with $q = 1$ ).

For each representation $\{u, v\},$ the zero $r + si$ can have $r = \pm u$ or $\pm v,$ giving $4$ distinct polynomials (the sign of $s$ changes nothing). The sum of the zeros is $p_{a,b} = q + 2r,$ and over the four choices the $2r$ terms cancel, leaving $4q$ from each representation.

The total is $4 \cdot 13 + 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 80.$

2013 AIME I 第 10 题

答案：80

难度评级：2710

解答：

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