Question

复数 $z$ 和 $w$ 满足方程组 $z + \frac{20i}{w} = 5 + i,$ $w + \frac{12i}{z} = -4 + 10i.$

求 $|zw|^2$ 的最小可能值。

The complex numbers $z$ and $w$ satisfy the system $z + \frac{20i}{w} = 5 + i,$ $w + \frac{12i}{z} = -4 + 10i.$

Find the smallest possible value of $|zw|^2.$

答案

答案：40

知识点：复数方程组二次方程

难度评级：2840

解答：

将两个方程相乘，得到 $\begin{aligned} &zw + 12i + 20i \\ &\quad {}- \frac{240}{zw} = (5 + i)(-4 + 10i) \\ &\quad = -30 + 46i, \end{aligned}$ 所以 $zw - \frac{240}{zw} = -30 + 14i$ 。令 $v = zw$ ，得到 $v^2 + (30 - 14i)v - 240 = 0$ 。

由求根公式， $v = -15 + 7i$ $\pm \sqrt{(15 - 7i)^2 + 240}$ $= -15 + 7i$ $\pm \sqrt{416 - 210i}$ 。设 $(a + bi)^2 = 416 - 210i$ ，则需要 $a^2 - b^2 = 416$ 且 $ab = -105$ ，从而 $a + bi = \pm(21 - 5i)$ 。因此 $v = 6 + 2i$ 或 $v = -36 + 12i$ ，对应 $|v|^2 = 40$ 或 $1440$ 。

较小值可以取到： $z = 1 - i$ ， $w = 2 + 4i$ 同时满足两个方程，且 $zw = 6 + 2i$ 。所以 $|zw|^2$ 的最小可能值为 $40$ 。

Multiplying the two equations gives $\begin{aligned} &zw + 12i + 20i \\ &\quad {}- \frac{240}{zw} = (5 + i)(-4 + 10i) \\ &\quad = -30 + 46i, \end{aligned}$ so $zw - \frac{240}{zw} = -30 + 14i.$ Setting $v = zw$ yields $v^2 + (30 - 14i)v - 240 = 0.$

By the quadratic formula, $v = -15 + 7i$ $\pm \sqrt{(15 - 7i)^2 + 240}$ $= -15 + 7i$ $\pm \sqrt{416 - 210i}.$ Writing $(a + bi)^2 = 416 - 210i$ requires $a^2 - b^2 = 416$ and $ab = -105,$ which gives $a + bi = \pm(21 - 5i).$ Hence $v = 6 + 2i$ or $v = -36 + 12i,$ with $|v|^2 = 40$ or $1440.$

The smaller value is attained: $z = 1 - i,$ $w = 2 + 4i$ satisfies both equations with $zw = 6 + 2i.$ So the smallest possible value of $|zw|^2$ is $40.$

2012 AIME II 第 8 题

答案：40

难度评级：2840

解答：

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