Question

四座灯塔位于点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，和 $D$ 。 $A$ 处的灯塔距 $B$ 处灯塔 $5$ 千米， $B$ 处灯塔距 $C$ 处灯塔 $12$ 千米， $A$ 处灯塔距 $C$ 处灯塔 $13$ 千米。对位于 $A$ 的观察者而言，由 $B$ 与 $D$ 的灯光确定的角等于由 $C$ 与 $D$ 的灯光确定的角。对位于 $C$ 的观察者而言，由 $A$ 与 $B$ 的灯光确定的角等于由 $D$ 与 $B$ 的灯光确定的角。从 $A$ 到 $D$ 的距离为 $\frac{p\sqrt{r}}{q}$ ，其中 $p$ ， $q$ ，和 $r$ 是互质正整数，且 $r$ 不被任何素数的平方整除。求 $p + q + r$ 。

Four lighthouses are located at points $A,$ $B,$ $C,$ and $D.$ The lighthouse at $A$ is $5$ kilometers from the lighthouse at $B,$ the lighthouse at $B$ is $12$ kilometers from the lighthouse at $C,$ and the lighthouse at $A$ is $13$ kilometers from the lighthouse at $C.$ To an observer at $A,$ the angle determined by the lights at $B$ and $D$ and the angle determined by the lights at $C$ and $D$ are equal. To an observer at $C,$ the angle determined by the lights at $A$ and $B$ and the angle determined by the lights at $D$ and $B$ are equal. The number of kilometers from $A$ to $D$ is given by $\frac{p\sqrt{r}}{q},$ where $p,$ $q,$ and $r$ are relatively prime positive integers, and $r$ is not divisible by the square of any prime. Find $p + q + r.$

答案

答案：96

知识点：角平分线坐标几何三角恒等式

难度评级：2990

解答：

因为 $5^2 + 12^2 = 13^2$ ，角 $B$ 为直角。取 $A = (0, 0)$ 、 $B = (5, 0)$ 、 $C = (5, 12)$ 。点 $A$ 处的条件说明 $\angle BAD = \angle CAD$ ，所以 $D$ 在角 $BAC$ 的角平分线上。由半角公式和 $\tan \angle BAC = \frac{12}{5}$ ， $\begin{aligned} \tan \frac{\angle BAC}{2} &= \frac{\sin \angle BAC}{1 + \cos \angle BAC} \\ &= \frac{12/13}{1 + 5/13} = \frac{2}{3}, \end{aligned}$ 因此 $D$ 在直线 $y = \frac{2}{3}x$ 上。

点 $C$ 处的条件说明 $CB$ 平分角 $ACD$ ，所以射线 $CD$ 是射线 $CA$ 关于直线 $CB$ 的反射，而这条直线是竖直线 $x = 5$ 。点 $A$ 的反射点为 $(10, 0)$ ，所以 $D$ 在过 $C = (5, 12)$ 和 $(10, 0)$ 的直线上，即 $5y = 120 - 12x$ 。

解 $y = \frac{2}{3}x$ 与 $5y = 120 - 12x$ ，得 $x = \frac{180}{23}$ ， $y = \frac{120}{23}$ 。因此 $AD = \frac{60}{23}\sqrt{3^2 + 2^2} = \frac{60\sqrt{13}}{23},$ 所以 $p + q + r = 60 + 23 + 13 = 96$ 。

Since $5^2 + 12^2 = 13^2,$ angle $B$ is right. Place $A = (0, 0),$ $B = (5, 0),$ $C = (5, 12).$ The condition at $A$ says $\angle BAD = \angle CAD,$ so $D$ lies on the bisector of angle $BAC.$ Using the half-angle formula with $\tan \angle BAC = \frac{12}{5},$ $\begin{aligned} \tan \frac{\angle BAC}{2} &= \frac{\sin \angle BAC}{1 + \cos \angle BAC} \\ &= \frac{12/13}{1 + 5/13} = \frac{2}{3}, \end{aligned}$ so $D$ lies on the line $y = \frac{2}{3}x.$

The condition at $C$ says $CB$ bisects angle $ACD,$ so ray $CD$ is the reflection of ray $CA$ over line $CB,$ which is the vertical line $x = 5.$ The reflection of $A$ is $(10, 0),$ so $D$ lies on the line through $C = (5, 12)$ and $(10, 0),$ namely $5y = 120 - 12x.$

Solving $y = \frac{2}{3}x$ and $5y = 120 - 12x$ gives $x = \frac{180}{23},$ $y = \frac{120}{23}.$ Then $AD = \frac{60}{23}\sqrt{3^2 + 2^2} = \frac{60\sqrt{13}}{23},$ so $p + q + r = 60 + 23 + 13 = 96.$

2009 AIME II 第 10 题

答案：96

难度评级：2990

解答：

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