Question

在以 $\overline{AB}$ 为斜边的直角 $\triangle ABC$ 中， $AC = 12$ ， $BC = 35$ ，且 $\overline{CD}$ 是到 $\overline{AB}$ 的高。令 $\omega$ 为以 $\overline{CD}$ 为直径的圆。令 $I$ 为 $\triangle ABC$ 外的一点，使得 $\overline{AI}$ 和 $\overline{BI}$ 都与圆 $\omega$ 相切。 $\triangle ABI$ 的周长与 $AB$ 的长度之比可写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数。求 $m + n$ 。

In right $\triangle ABC$ with hypotenuse $\overline{AB},$ $AC = 12,$ $BC = 35,$ and $\overline{CD}$ is the altitude to $\overline{AB}.$ Let $\omega$ be the circle having $\overline{CD}$ as a diameter. Let $I$ be a point outside $\triangle ABC$ such that $\overline{AI}$ and $\overline{BI}$ are both tangent to circle $\omega.$ The ratio of the perimeter of $\triangle ABI$ to the length $AB$ can be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：11

知识点：内切圆、内心与内切圆半径切线海伦公式

难度评级：2990

解答：

因为 $\overline{CD} \perp \overline{AB}$ ，且 $D$ 是直径的一个端点，所以 $AB$ 在 $D$ 处与 $\omega$ 相切。再加上切线 $AI$ 和 $BI$ ， $\omega$ 就是三角形 $ABI$ 的内切圆。写 $AD = y$ ， $BD = z$ ，并令 $x$ 为从 $I$ 引出的切线长。直角三角形高的性质给出 $CD^2 = AD \cdot BD$ ，所以 $ABI$ 的内切圆半径为 $r = \frac{1}{2}\sqrt{yz}$ 。

半周长 $s = x + y + z$ ，切线长分别为 $s - AB = x$ 、 $s - BI = y$ 和 $s - AI = z$ ，因此 $ABI$ 的面积既等于 $rs$ ，也由海伦公式等于 $\sqrt{s \cdot xyz}$ 。两者相等并平方， $\frac{s^2\,yz}{4} = s\,xyz,$ 所以 $s = 4x,$ 进而 $AB = y + z = s - x = 3x$ 。

周长为 $2s = 8x$ ，所以它与 $AB$ 的比为 $\frac{8x}{3x} = \frac{8}{3}$ （与给定直角边无关），于是 $m + n = 8 + 3 = 11$ 。

Because $\overline{CD} \perp \overline{AB}$ and $D$ is an endpoint of the diameter, $AB$ is tangent to $\omega$ at $D.$ Together with the tangent lines $AI$ and $BI,$ this makes $\omega$ the inscribed circle of triangle $ABI.$ Write $AD = y,$ $BD = z,$ and let $x$ be the tangent length from $I.$ The right-triangle altitude satisfies $CD^2 = AD \cdot BD,$ so the inradius of $ABI$ is $r = \frac{1}{2}\sqrt{yz}.$

With semiperimeter $s = x + y + z,$ the tangent lengths are exactly $s - AB = x,$ $s - BI = y,$ and $s - AI = z,$ so the area of $ABI$ equals both $rs$ and, by Heron's formula, $\sqrt{s \cdot xyz}.$ Equating and squaring, $\frac{s^2\,yz}{4} = s\,xyz,$ so $s = 4x,$ which gives $AB = y + z = s - x = 3x.$

The perimeter is $2s = 8x,$ so its ratio to $AB$ is $\frac{8x}{3x} = \frac{8}{3}$ (independent of the given legs), and $m + n = 8 + 3 = 11.$

2009 AIME I 第 12 题

答案：11

难度评级：2990

解答：

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