Question

如果正整数 $N$ 的 $7$ 进制表示中的数字，按 $10$ 进制数来读，等于 $N$ 的两倍，则称 $N$ 为一个 七-十双数。例如， $51$ 是一个七-十双数，因为它的 $7$ 进制表示为 $102$ 。最大的七-十双数是多少？

Call a positive integer $N$ a 7-10 double if the digits of the base- $7$ representation of $N$ form a base- $10$ number that is twice $N.$ For example, $51$ is a 7-10 double because its base- $7$ representation is $102.$ What is the largest 7-10 double?

答案

答案：315

知识点：进制数字极限情形界定

难度评级：2430

解答：

设 $N$ 的 $7$ 进制数字为 $d_k \ldots d_1 d_0$ 条件是 $\sum d_i \, 10^i = 2 \sum d_i \, 7^i$ ，也就是 $\sum d_i \,(10^i - 2 \cdot 7^i) = 0$ 当 $i = 0, 1, 2, 3$ 时，系数 $10^i - 2 \cdot 7^i$ 分别为 $-1$ 、 $-4$ 、 $2$ 、 $314$ 若有 $i\ge3$ ，正贡献至少为 $314$ ，但负项总和最多为 $i\ge3$ 所以 $N$ 至多有三位 $7$ 进制数字。 $4\cdot6+6=30$ 。

对三位数，条件变为 $2 d_2 = 4 d_1 + d_0$ 为了最大化 $N = 49 d_2 + 7 d_1 + d_0$ ，取 $d_2 = 6$ ，于是 $4 d_1 + d_0 = 12$ ；使 $7 d_1 + d_0$ 最大的是 $d_1 = 3$ ， $d_0 = 0$ 。

因此 $N = 49 \cdot 6 + 7 \cdot 3 = 315$ ，它的 $7$ 进制表示为 $630 = 2 \cdot 315$ 。

Suppose $N$ has base- $7$ digits $d_k \ldots d_1 d_0.$ The condition is $\sum d_i \, 10^i = 2 \sum d_i \, 7^i,$ that is $\sum d_i \,(10^i - 2 \cdot 7^i) = 0.$ The coefficients $10^i - 2 \cdot 7^i$ for $i = 0, 1, 2, 3$ are $-1,$ $-4,$ $2,$ $314.$ Every coefficient for $i\ge3$ is positive and at least $314.$ Thus if any digit in a place $i\ge3$ were nonzero, its positive contribution could not be canceled by the two negative terms, whose total magnitude is at most $4\cdot6+6=30.$ So $N$ has at most three base- $7$ digits.

For three digits the condition reads $2 d_2 = 4 d_1 + d_0.$ To maximize $N = 49 d_2 + 7 d_1 + d_0,$ take $d_2 = 6,$ so $4 d_1 + d_0 = 12;$ the largest value of $7 d_1 + d_0$ comes from $d_1 = 3,$ $d_0 = 0.$

Thus $N = 49 \cdot 6 + 7 \cdot 3 = 315,$ whose base- $7$ representation is $630 = 2 \cdot 315.$

2001 AIME I 第 8 题

答案：315

难度评级：2430

解答：

其他年份的第 8 题