Question

函数 $f$ 定义为 $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 是非零实数。它满足 $f(19) = 19$ 、 $f(97) = 97$ ，并且除自变量等于 $\frac{-d}{c}$ 时外，对所有可取的自变量都有 $f(f(x)) = x$ 。求唯一不在 $f$ 值域中的数。

The function $f$ defined by $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d},$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are nonzero real numbers, has the properties $f(19) = 19,$ $f(97) = 97,$ and $f(f(x)) = x$ for all values except $\frac{-d}{c}.$ Find the unique number that is not in the range of $f.$

答案

答案：58

知识点：函数方程分式方程韦达定理

难度评级：2560

解答：

复合可得 $f(f(x)) = \frac{(a^2 + bc)x + b(a + d)}{c(a + d)x + (bc + d^2)}$ ，它恒等于 $x$ 时，必须有 $c(a + d) = 0$ 。由于 $c \ne 0$ ，得到 $d = -a$ ，所以 $f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}$ 。

不动点满足 $cx^2 - ax = ax + b$ ，即 $cx^2 - 2ax - b = 0$ ，其根为 $19$ 和 $97$ 。由韦达定理， $19 + 97 = \frac{2a}{c}$ ，所以 $\frac{a}{c} = 58$ 。

最后， $y$ 在值域中当且仅当 $y = \frac{ax + b}{cx - a}$ 有解，也就是 $x(cy - a) = ay + b$ 。除非 $cy - a = 0$ ；否则可解出 $x$ ；而当 $y = \frac{a}{c}$ 时，右边 $\frac{a^2}{c} + b = \frac{a^2 + bc}{c}$ 非零（否则 $f$ 会是常数）。所以唯一不在值域中的数是 $\frac{a}{c} = 58$ 。

Composing, $f(f(x)) = \frac{(a^2 + bc)x + b(a + d)}{c(a + d)x + (bc + d^2)},$ and this equals $x$ identically only if $c(a + d) = 0.$ Since $c \ne 0,$ we get $d = -a,$ so $f(x) = \frac{ax + b}{cx - a}.$

A fixed point satisfies $cx^2 - ax = ax + b,$ i.e. $cx^2 - 2ax - b = 0,$ whose roots are $19$ and $97.$ By Vieta's formulas, $19 + 97 = \frac{2a}{c},$ so $\frac{a}{c} = 58.$

Finally, $y$ is in the range exactly when $y = \frac{ax + b}{cx - a}$ has a solution, i.e. $x(cy - a) = ay + b.$ This solves for $x$ unless $cy - a = 0;$ and when $y = \frac{a}{c},$ the right side $\frac{a^2}{c} + b = \frac{a^2 + bc}{c}$ is nonzero (otherwise $f$ would be constant). So the unique number not in the range is $\frac{a}{c} = 58.$

1997 AIME 第 12 题

答案：58

难度评级：2560

解答：

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