Question

三角形 $ABC$ 在 $B$ 处为直角，内部有一点 $P$ ，满足 $PA=10$ 、 $PB=6$ ，且 $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA$ 。求 $PC$ 。

Triangle $ABC$ has a right angle at $B$ and contains a point $P$ for which $PA=10,$ $PB=6,$ and $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA.$ Find $PC.$

答案

答案：33

知识点：向量直角三角形

难度评级：2380

小提示：

$P$ 周围三个相等的角都为 $120^\circ$

The three equal angles around $P$ are each $120^\circ$

大提示：

使用从 $P$ 出发的向量，并将 $B$ 处的直角转化为点积条件

Use vectors from $P$ and translate the right angle at $B$ into a dot product

解答：

令 $\mathbf a$ 、 $\mathbf b$ 、 $\mathbf c$ 分别为从 $P$ 指向 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的向量，并令 $|\mathbf c|=x$ 。它们两两夹角均为 $120^\circ$ ，所以 $\mathbf a\cdot\mathbf b=-30$ 、 $\mathbf b\cdot\mathbf c=-3x$ ，且 $\mathbf a\cdot\mathbf c=-5x$ 。因为 $AB\perp BC$ ，

$(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0$ 。展开得 $-5x+30+3x+36=0$ ，所以 $x=33$ 。

Let $\mathbf a,$ $\mathbf b,$ and $\mathbf c$ be the vectors from $P$ to $A,$ $B,$ $C,$ and put $|\mathbf c|=x.$ Their pairwise angles are $120^\circ,$ so $\mathbf a\cdot\mathbf b=-30,$ $\mathbf b\cdot\mathbf c=-3x,$ and $\mathbf a\cdot\mathbf c=-5x.$ Since $AB\perp BC,$

$(\mathbf a-\mathbf b)\cdot(\mathbf c-\mathbf b)=0.$ Expanding gives $-5x+30+3x+36=0,$ so $x=33.$

1987 AIME 第 9 题

答案：33

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

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