2013 AMC 8 Problema 3

Intenta el Problema 3 del 2013 AMC 8 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución en video y solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2013 AMC 8, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

3.

¿Cuál es el valor de 4⋅(−1+2−3+4−5+6−7+⋯+1000)? \begin{aligned} &4 \cdot (-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 \\ &\qquad {}- 7 + \cdots + 1000)? \end{aligned}
What is the value of 4⋅(−1+2−3+4−5+6−7+⋯+1000)? \begin{aligned} &4 \cdot (-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 \\ &\qquad {}- 7 + \cdots + 1000)? \end{aligned}
−10-10
00
11
500500
20002000
Respuesta: E
Conceptos:sumatoriaemparejamiento y agrupación
Pista pequeña:
Empareja los términos dentro del paréntesis.
Pair the terms inside the parentheses.
Pista grande:
Cada par (−1+2),(−3+4),…(-1+2),(-3+4),\ldots tiene la misma suma.
Each pair (−1+2),(−3+4),…(-1+2),(-3+4),\ldots has the same sum.
Solución en video:
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Solución escrita:
Dentro del paréntesis, empareja los términos consecutivos: (−1+2)+(−3+4)+⋯+(−999+1000). \begin{aligned} &(-1+2)+(-3+4) \\ &\quad {}+\cdots+(-999+1000). \end{aligned}
Cada par tiene suma 11, y hay 500500 pares, así que el valor dentro del paréntesis es 500500. Al multiplicar por 44 se obtiene 20002000.
Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
Within the parentheses, pair consecutive terms: (−1+2)+(−3+4)+⋯+(−999+1000). \begin{aligned} &(-1+2)+(-3+4) \\ &\quad {}+\cdots+(-999+1000). \end{aligned}
Each pair has sum 11, and there are 500500 pairs, so the value inside the parentheses is 500500. Multiplying by 44 gives 20002000.
Thus, E is the correct answer.
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