Question

在图中，圆心为 $O$ 。 $\overline{AB}\perp\overline{BC}$ ， $ADOE$ 是一条直线， $\overline{AP}=\overline{AD}$ ，且 $\overline{AB}$ 的长度是半径的两倍。则：

In this figure the center of the circle is $O.$ $\overline{AB}\perp\overline{BC},$ $ADOE$ is a straight line, $\overline{AP}=\overline{AD},$ and $\overline{AB}$ has a length twice the radius. Then:

$\overline{AP}^{\,2}=\overline{PB}\cdot\overline{AB}$

$\overline{AP}\cdot\overline{DO}=\overline{PB}\cdot\overline{AD}$

$\overline{AB}^{\,2}=\overline{AD}\cdot\overline{DE}$

$\overline{AB}\cdot\overline{AD}=\overline{OB}\cdot\overline{AO}$

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：切线圆幂圆

难度评级：2000

小提示：

设半径为 $r$ ，用 $AO$ 和 $r$ 表示 $AD$

Let the radius be $r$ and write $AD$ in terms of $AO$ and $r$

大提示：

联合使用切线关系 $AB^2=AD\cdot AE$ 与 $AB=2r$

Use the tangent relation $AB^2=AD\cdot AE$ together with $AB=2r$

解答：

设半径为 $r$ 。因为 $AB$ 在 $B$ 点处与圆相切，所以 $AB^2=AD\cdot AE\text{。}$ 令 $AD=t$ 。由于割线经过圆心， $AE=t+2r$ ，而 $AB=2r$ 。因此 $t(t+2r)=4r^2\text{。}$ 另外， $AP=AD=t$ ，且 $PB=AB-AP=2r-t$ 。将上式整理为 $t^2=2r(2r-t)=PB\cdot AB\text{。}$ 因此 $AP^2=PB\cdot AB$ 。

因此，正确答案是 A。

Let the radius be $r.$ Since $AB$ is tangent at $B,$ $AB^2=AD\cdot AE.$ Write $AD=t.$ Because the secant passes through the center, $AE=t+2r,$ while $AB=2r.$ Hence $t(t+2r)=4r^2.$ Also $AP=AD=t$ and $PB=AB-AP=2r-t.$ The displayed equation rearranges to $t^2=2r(2r-t)=PB\cdot AB.$ Therefore $AP^2=PB\cdot AB.$

Thus, the correct answer is A.

1960 AMC 12 第 32 题

答案：A

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 32 题